题目内容

【题目】如图,O的直径AC与弦BD相交于点F,点E是DB延长线上一点,EAB=ADB.

(1)求证:EA是O的切线;

(2)已知点B是EF的中点,求证:以A、B、C为顶点的三角形与AEF相似;

(3)已知AF=4,CF=2,在(2)的条件下,求AE的长.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、证明过程见解析;(3)、AE=4

【解析】

试题分析:(1)、连接CD,根据直径所对的圆周角为直角得出ADB+EDC=90°,根据同弧所对的圆周角相等得出BAC=EDC,然后结合已知条件得出EAB+BAC=90°,从而说明切线;(2)、连接BC,根据直径的性质得出ABC=90°,根据B是EF的中点得出AB=EF,即BAC=AFE,则得出三角形相似;(3)、根据三角形相似得出,根据AF和CF的长度得出AC的长度,然后根据EF=2AB代入求出AB和EF的长度,最后根据RtAEF的勾股定理求出AE的长度.

试题解析:(1)、如答图1,连接CD, AC是O的直径,∴∠ADC=90°. ∴∠ADB+EDC=90°.

∵∠BAC=EDC,EAB=ADB, ∴∠BAC=EAB+BAC=90°. EA是O的切线.

(2)、如答图2,连接BC, AC是O的直径,∴∠ABC=90°. ∴∠CBA=ABC=90°.

B是EF的中点,在RtEAF中,AB=BF. ∴∠BAC=AFE. ∴△EAF∽△CBA.

(3)、∵△EAF∽△CBA,. AF=4,CF=2, AC=6,EF=2AB.

,解得AB=2.EF=4.

AE=.

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