题目内容

在东西方向的海岸线L上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19.5km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8
3
km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由；
（3）根据（2）的探究过程，请求出要使从B出发的轮船靠岸，那么轮船的航线y=kx+b的k的取值范围？（直接写出答案）
分析：（1）根据方向角可以证得△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求得BC的长，则航速即可求解；
（2）以正东方向所在直线为横轴，以正北方向所在直线为纵轴，点A为坐标原点，建立平面直角坐标系．即可求得直线BC的解析式，得到BC与河岸的交点，从而确定船是否能到达MN的位置，从而进行判断；
（3）根据（2）可以求得M、N的坐标，根据待定系数法即可求得BM和BN的解析式，从而求得k的范围．
解答：解：（1）∵∠BAD=30°，∠DAC=60°，
∴∠BAC=90°，
∴在Rt△BAC中，BC2=AB2+AC2=402+（8
3
）2=1792，
∴BC=16
7
，
∴轮船的航行速度为
16
7
4
3
=12
7
（km/h）；

（2）以正东方向所在直线为横轴，以正北方向所在直线为纵轴，点A为坐标原点，建立平面直角坐标系．作BE⊥x轴于E，则在直角△ABE中，AB=40km，∠BEA=90°，
则AE=AB•cos60°=20，BE=AB•sin60°=20
3
，
则B的坐标是：（-20，20
3
），同理C的坐标是：（12，4
3
），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
则
-20k+b=20
3
12k+b=4
3
，解得：
k=-
3
2
b=10
3
，
则直线BC的解析式为y=-
3
2
x+10
3

令y=0，则x=20，而AM=19.5，
∴20.5＞20＞19.5
∴轮船可以行至码头MN靠岸．…（4分）

（3）M的坐标是（19.5，0），设直线BM的解析式是y=kx+b
则
-20k+b=20
3
19.5k+b=0
，
解得：
k=-
40
3
79
b=
1560
3
79
，
N的坐标是（20.5，0），设直线BN的解析式是：y═kx+b，
则
-20k+b=20
3
20.5k+b=0
，
解得：
k=-
40
3
81
b=
820
3
81
，
则-
40
3
79
≤k≤-
40
3
81
…（3分）．
点评：本题考查了方向角以及待定系数法求函数的解析式，正确建立坐标系，把求线段的长的问题转化成求函数问题提现了数形结合的思想．
练习册系列答案
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3
km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
（2012•乐山）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距20
3
千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．
（1）求该轮船航行的速度；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：
2
≈1.414，
3
≈1.732）
（2013•广州）如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．
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（2012•铁岭）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行
2
2
2
2
海里．
如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行多少海里？

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