题目内容
探索下列问题：（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；
②请你在图3中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．
【答案】分析：（1）易得只要过正方形对角线交点的任意直线都可平分正方形的面积，按照所给的方向画即可；
（2）由（1）得只有过中心的直线才平分六边形的面积．那么可根据所给的直线进行平移，以过六边形的中心为界限；
（3）在分割所成的两部分的面积不断变化中，会出现面积相等的情况，所以存在．
解答：解：（1）
（2）①S1＜S2，S1=S2，S1＞S2（2分）
②S1＜S2，S1=S2，S1＞S2．（6分）
（3）存在．
对于任意一条直线l，在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，
当图形被直线l分割后，
设直线l两侧图形的面积分别为S1，S2．
两侧图形的面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形，
在这个平移过程中，一定会存在S1=S2的时刻．
因此，一定存在一条直线，将一个任意平面图形分割成面积相等的两部分．（8分）
点评：解决本题的关键是先得到只要过正多边形中心的直线就能把正多边形的面积分为相等的两部分，进而得到存在把任意平面图形分为面积相等的两个图形的情形．
（2）由（1）得只有过中心的直线才平分六边形的面积．那么可根据所给的直线进行平移，以过六边形的中心为界限；
（3）在分割所成的两部分的面积不断变化中，会出现面积相等的情况，所以存在．
解答：解：（1）
（2）①S1＜S2，S1=S2，S1＞S2（2分）
②S1＜S2，S1=S2，S1＞S2．（6分）
（3）存在．
对于任意一条直线l，在直线l从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，
当图形被直线l分割后，
设直线l两侧图形的面积分别为S1，S2．
两侧图形的面积由S1＜S2（或S1＞S2）的情形，逐渐变为S1＞S2（或S1＜S2）的情形，
在这个平移过程中，一定会存在S1=S2的时刻．
因此，一定存在一条直线，将一个任意平面图形分割成面积相等的两部分．（8分）
点评：解决本题的关键是先得到只要过正多边形中心的直线就能把正多边形的面积分为相等的两部分，进而得到存在把任意平面图形分为面积相等的两个图形的情形．
练习册系列答案
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