题目内容

（2012•许昌一模）如图，已知抛物线，y=ax2+bx+c经过A（2，0）．B（3．-3）及原点O．顶点为C．
（l）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；
（3）P是抛物线上第三象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，清说明理由．
分析：（1）通过抛物线过原点O，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）①当OA为边时，根据E在x=1上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；
②OA为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
（3）设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x2+2x，可得P（x，-x2+2x），根据勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．
解答：解：（1）∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx，
将A（2，0），B（3，-3）代入，得
4a+2b=0
9a+3b=-3
，
解得
a=-1
b=2
，
故抛物线的解析式为：y=-x2+2x，
则y=-x2+2x=-（x2-2x）=-（x-1） 2+1，
故C点坐标为：（1，1）；

（2）如图1，①当AO为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
∴DE∥AO，且DE=AO=2．
∵点E在对称轴x=1上，
∴点D的横坐标为-1或3．
即符合条件的点D有两个，分别记为D1，D2．
而当x=-1时，y=-3当x=3时，y=-3
则D1（-1，-3），D2（3，-3），
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分．
又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（1，1），
综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

（3）存在，
如图2，∵B（3，-3），C（1，1）根据勾股定理得：
BO2=18，CO2=2，BC2=20．
∴BO2+CO2=BC2．
∴△BOC是以∠BOC为直角的直角三角形．
假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与Rt△BOC相似．
设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x2+2x，
①若△AMP∽△BOC，
则
AM
BO
=
PM
CO
．
2-x
3
2
=
-(-x2+2x)
2
，
则3x2-5x-2=0，
解之得x1=-
1
3
，x2=2（舍去）．
当x=-
1
3
时，y=-
7
9
，即点P（-
1
3
，-
7
9
）
②若△PMA∽△BOC，
则
AM
CO
=
PM
BO
．
2-x
2
=
-(-x2+2x)
3
2

则x2+x-6=0
解之得x1=-3，x2=2（舍去）．
当x=-3时，y=-15，即点P（-3，-15）．
综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1（-
1
3
，-
7
9
），P2（-3，-15）．
点评：本题考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．
练习册系列答案
相关题目
（2012•许昌一模）根据201 1年河南省国民经济和社会发展统计公报：我省国民经济在宏观形势错综复杂的情况下，保持了平稳增长的良好态势，实现了“十二五”经济社会发展和中原经济区建设的良好开局．初步核算，我省全年生产总值27232.04亿元，要把这个数保留三个有效数字可表示为（　　）
（2012•许昌一模）已知整式x2-
52
x的值为6，则2x2-5x-20的值为
-8
-8
．
（2012•许昌一模）先化简 
x2-1
x2+x-2
÷(x-2+
3
x+2
)，然后选择一个你喜欢的数代入求值．
（2012•许昌一模）如图，已知在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=
m
x
（m≠0）的图象交于A、B两点，且点B的纵坐标为-
1
2
，过点A作AC⊥x轴于点C，AC=1，OC=2．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）连接OA，并延长OA到点D，使AD=OA，作DF⊥x轴，F为垂足，交反比例函数图象于点E，求点E的坐标．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网