Question

某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现,该商品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种商品的销售利润为y (元).
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)在不亏本的前提下,销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?

Answer 1

（1）y=-2x²+120x-1600；（2）30,200；（3）25.

试题分析：（1）根据销售利润y=（每千克销售价-每千克成本价）×销售量w，即可列出y与x之间的函数关系式；
（2）先利用配方法将（1）的函数关系式变形，再利用二次函数的性质即可求解；
（3）先把y=150代入（1）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．
试题解析:（1）y=w（x-20）
=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600，
则y=-2x²+120x-1600．
由题意，有，
解得20≤x≤40．
故y与x的函数关系式为：y=-2x²+120x-1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；
（2）∵y=-2x²+120x-1600=-2（x-30）2+200，
∴当x=30时，y有最大值200．
故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；
（3）当y=150时，可得方程-2x²+120x-1600=150，
整理，得x²-60x+875=0，
解得x₁=25，x₂=35．
∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x₂=35不合题意，应舍去．
故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．
考点: 二次函数的应用；一元二次方程的应用．