题目内容
如图1，已知点A（0，4
）x轴正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒
个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M、N作等边△PMN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如图2，如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上，从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．
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（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如图2，如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上，从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．
分析：（1）已知点A的坐标知道OA的长度，在直角三角形中根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB，根据勾股定理求出OB，从而求出B的坐标，最后利用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）由（1）已经求出AB的长，可以表示出BP的长，题目也告诉了∠ABO的度数，利用三角函数值就可以表示出MP长度，当M到达O点利用30°的直角三角形的特殊关系求出OP，利用勾股定理就可以求出AP，从而求出时间t．
（3）当点M与原点O重合时，点N与点D也是重合的，这时以PM是否过点E为分点分别计算重合部分的面积．将重合部分的面积用含t的式子表示出来就可以了．
（2）由（1）已经求出AB的长，可以表示出BP的长，题目也告诉了∠ABO的度数，利用三角函数值就可以表示出MP长度，当M到达O点利用30°的直角三角形的特殊关系求出OP，利用勾股定理就可以求出AP，从而求出时间t．
（3）当点M与原点O重合时，点N与点D也是重合的，这时以PM是否过点E为分点分别计算重合部分的面积．将重合部分的面积用含t的式子表示出来就可以了．
解答：解：（1）∵A（0，4
）
∴OA=4
，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=
，即tan30°=
=
，
∴BO=12，
∴B（12，0）
设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得：
，
解得：
，
故直线AB的解析式为：y=-
x+4
；
（2）∵△PMN为等边三角形，
∴∠PMO=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠PMO+∠ABO=90°，
∴∠MPB=90°，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2AO=8
，
∴BP=AB-AP=8
-
t，
在Rt△MPB中，∠MPB=90°，tan∠ABO=
，
即tan30°=
=
，
∴MP=8-t，
当M与O重合时，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90°，
∴MP=
OB=6，即8-t=6，
∴t=2；
（3）M与O点重合时PM=MN=6，此时N点与D点重合，如图2，
当PM过点E时，∠PMB=60°，∠MBA=30°，
∴∠MBA=∠ACE=30°，
∴∠EAP=60°，
∴∠AEP=30°，
∴AP=
AE=
，
此时t=1；
当0≤t≤1时，设PN交EC于F，过F作FG⊥OB于G，FG=OE=2
，
∵∠PNM=60°，
∴GN=
=2，
∵PM=8-t，
∴BM=2PM=16-2t，
∴MO=BM-BO=4-2t，ON=MN-MO=t+4，EF=OG=ON-GN=t+2，
∴S=
×2
×（t+2+t+4）
=2
t+6
，
当0＜t≤2时，设PM、PN交EC于H、F，S=S梯形EONF-S△EHI．
由（2）知：MO=4-2t，IO=
MO=4
-2
t，
∴EI=EO-IO=2
t-2
，EH=
EI=2t-2，
∴S△EHI=
×（2t-2）×（2
t-2
）=2
t2-4
t+2
，
∴S=2
t+6
-2
t2+4
t-2
=-2
t2+6
t+4
．
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∴OA=4
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在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴tan∠ABO=
| OA |
| OB |
4
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| OB |
| ||
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∴BO=12，
∴B（12，0）
设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得：
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解得：
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故直线AB的解析式为：y=-
| ||
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（2）∵△PMN为等边三角形，
∴∠PMO=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠PMO+∠ABO=90°，
∴∠MPB=90°，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2AO=8
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∴BP=AB-AP=8
| 3 |
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在Rt△MPB中，∠MPB=90°，tan∠ABO=
| MP |
| BP |
即tan30°=
| MP | ||||
8
|
| ||
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∴MP=8-t，
当M与O重合时，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90°，
∴MP=
| 1 |
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∴t=2；
（3）M与O点重合时PM=MN=6，此时N点与D点重合，如图2，
当PM过点E时，∠PMB=60°，∠MBA=30°，
∴∠MBA=∠ACE=30°，
∴∠EAP=60°，
∴∠AEP=30°，∴AP=
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此时t=1；
当0≤t≤1时，设PN交EC于F，过F作FG⊥OB于G，FG=OE=2
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∵∠PNM=60°，
∴GN=
| FG |
| tan60° |
∵PM=8-t，
∴BM=2PM=16-2t，
∴MO=BM-BO=4-2t，ON=MN-MO=t+4，EF=OG=ON-GN=t+2，
∴S=
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=2
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当0＜t≤2时，设PM、PN交EC于H、F，S=S梯形EONF-S△EHI．
由（2）知：MO=4-2t，IO=
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∴EI=EO-IO=2
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| ||
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∴S△EHI=
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∴S=2
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点评：本题考查了一次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式，勾股定理的运用，三角函数的运用以及图形的面积公式，数学中的动点问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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