Question

如图1，已知点A(0，4

3

)，点B在x轴正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒

3

个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M、N作等边△PMN．

（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如图2，如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上，从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知点A的坐标知道OA的长度，在直角三角形中根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB，根据勾股定理求出OB，从而求出B的坐标，最后利用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）由（1）已经求出AB的长，可以表示出BP的长，题目也告诉了∠ABO的度数，利用三角函数值就可以表示出MP长度，当M到达O点利用30°的直角三角形的特殊关系求出OP，利用勾股定理就可以求出AP，从而求出时间t．
（3）当点M与原点O重合时，点N与点D也是重合的，这时以PM是否过点E为分点分别计算重合部分的面积．将重合部分的面积用含t的式子表示出来就可以了．

解答：解：（1）∵A（0，4

3

）
∴OA=4

3

在Rt△AOB中，∠AOB=90°
tan∠ABO=

AO

BO

即tan30°=

4 3

BO

=

3

3

∴BO=12
∴B（12，0）
设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得：

4 3 =b 0=12k+b

解得：

k=- 3 3 b=4 3

∴直线AB的解析式为：y=-

3

3

x+4

3

（2）∵△PMN为等边三角形
∴∠PMO=60°
∵∠ABO=30°
∴∠PMO+∠ABO=90°
∴∠MPB=90°
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°
∴AB=2AO=8

3

∴BP=AB-AP=8

3

-

3

t，在Rt△MPB中，∠MPB=90°
tan∠ABO=

MP

BP

即tan30°=

MP

8 3 - 3 t

=

3

3

∴MP=8-t
当M与O重合时，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90°
∴MP=

1

2

OB=6，即8-t=6
∴t=2

（3）M与O点重合时PM=MN=6，此时N点与D点重合，如图2，
当PM过点E时，∠PMB=60°，∠MBA=30°，∴∠MBA=∠ACE=30°，
∴∠EAP=60°，
∴∠AEP=30°
∴AP=

1

2

AE=

3

，此时t=1
当0≤t≤1时，设PN交EC于F，过F作FG⊥OB于G，FG=OE=2

3

∵∠PNM=60°，∴GN=2
∵PM=8-t，∴BM=2PM=16-2t
∴MO=BM-BO=4-2t
ON=MN-MO=t+4
EF=OG=ON-GN=t+2
∴S=

1

2

×2

3

×(t+2+t+4)
=2

3

t+6

3

当0＜t≤2时设PM、PN交EC于H、F，S=S_梯形EONF-S_△EHI．
由（2）知MO=4-2t，IO=

3

MO=4

3

-2

3

t
∴EI=EO-IO=2

3

t-2

3

EH=

3

3

EI=2t-2
∴S_△EHI=

1

2

×(2t-2)(2

3

t-2

3

)
=2 

3

t2-4

3

t+2

3

∴S=2

3

t+6

3

-2 

3

t2 +4

3t

-2

3

=-2

3

t2 +6

3

t+4

3

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式，勾股定理的运用，三角函数的运用以及图形的面积公式，数学中的动点问题．是一道难度较大的综合试题．