Question

如图1，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）请在图1中，找出与AD相等的线段，并说明理由；
（2）求∠DCA的大小；
（3）若点M在DE上，如图2，且DC=DM，求证：ME=BD．

Answer 1

分析：（1）根据条件可以得出∠DAB=DBA，从而可以得出AD=BD；
（2）根据等腰直角三角形的性质可以得出△ADC≌△BDC，就可以得出∠DCA=∠DCB，从而可以得出结论；
（3）连结MC，证明△DCM是等边三角形，就可以得出CM=CD，∠MCE=45°，通过证明△MCE≌△DCB就可以得出结论．

解答：解：（1）BD=AD，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°．
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠BAC-∠CAD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°，
即∠DAB=∠DBA，
∴BD=AD；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∵在△ADC和△BDC中，

AC=BC ∠CAD=∠CBD AD=BD

，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠DCA=∠DCB，
∴∠DCA=

1

2

∠ACB=

1

2

×90°=45°；

（3）连结MC，
∵∠MDC=∠CAD+∠ACD，
∴∠MDC=15°+45°=60°．
∵DC=DM，
∴△DCM是等边三角形．
∴CD=CM=DM，∠CDM=∠DMC=∠DCM．
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA=15°，BC=CE，
∴∠ACE=150°
∴∠MCE=150°-45°-60°=45°，
∴∠MCE=∠DCB，
∵在△MCE和△DCB中，

MC=DC ∠MCE=∠DCB CE=CB

，
∴△MCE≌△DCB（SAS），
∴ME=BD．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．