Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的顶点A、B分别在x、y轴的正半轴上，顶点D在x轴的负半轴上．已知∠C=∠CDA=90°，AB=10，对角线BD平分∠ABC，且tan∠DBO=
（1）求直线AB的解析式；
（2）若动点P从点A出发，以每秒5个单位长的速度沿着线段AB向终点B运动；同时动点Q从点D出发，以每秒4个单位长的速度沿着线段DA终点A运动，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，当一点到达终点时，另一的也随之停止运动．设线段朋的长度为y，点P运动时间为t，求y与t的函数关系式；（请直接写出自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，将△APQ沿直线PQ折叠后，AP对应线段为A’P，当t为何值时，A’P∥CD，并通过计算说明，此时以为半径的ΘP与直线QH的位置关系．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠C=∠CDB，
∴BC∥AD，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB=10，
在△BDO中，设OD=a，则OB=3a，
在Rt△ABO中，（10-a）²+（3a）²=10²，
∴a=2，a=0（舍去），
∴点A、B的坐标分别是（8，0），（0，6），
设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，
解得：k=-，b=6，
∴直线AB的解析式是y=-x+6．

（2）由题意得：DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，
cos∠PAO===，
在Rt△AQH中，=，
∴AH=（10-4t），
当P与H重合时，cos∠QAH=cos∠QAP===，
解得：t=，
①0≤t＜，y=PH=AH-AP=（10-4t）-5t=t+8；
②＜t≤2，y=AP-AQ=T-8；
综合上述：求得的解析式是．

（3）如图1，当0≤t＜时，延长A′P与x轴交于点K，
∵A′P∥CD，
∴∠AKP=90°，
在Rt△APK中，AK=4t，PK=3t，
QK=AQ-AK=10-4t-4t=10-8t，
在Rt△A′KQ中，∠A′=∠AA′P，
∴AP=5t，
tan∠QA′K===，
∴t=，此时，y=-×+8=，
此时等于⊙P的半径，
所以⊙P和直线相切；
当＜t≤2时，点A′在x轴的下方，A′P与x轴交于点K，
同理可求得：KQ=8t-10，
sin∠A′=sin∠BAC==，
∴t=，
此时y=×-8=＞，
所以⊙P与直线相离．
分析：（1）根据平行线性质和梯形性质求出BA=AD，设OD=a，根据勾股定理得出（10-a）²+（3a）²=10²，求出a，得出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入求出即可；
（2）求出DQ=4t，AQ=10-4t，AP=5t，根据锐角三角函数求出=，求出AH的值，当P与H重合时，根据cos∠QAP=，求出t，①0≤t＜，根据y=PH=AH-AP代入求出y；②＜t≤2，根据y=AP-AQ代入求出y；
（3）当0≤t＜时，根据平行线和锐角三角函数cos∠QA′K=，代入求出t，求出y，根据直线和圆的位置关系求出即可；当＜t≤2时，点A′在x轴的下方，A′P与x轴交于点K，同理可求得t，根据直线和圆的位置关系求出即可．
点评：本题考查了对直线与圆的位置关系，勾股定理，平行线的性质，直角梯形，翻折变换，锐角三角函数等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求，通过做此题培养了学生综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力．