题目内容
已知二次函数y=x2+2x+t与x轴的两个交点分别为(x1,0)、(x2,0),且x13+2x12+tx1-3x1-3x2-t=7,该二次函数与双曲线.(1)t与k的值;
(2)已知点P1,P2,…,Pn都在双曲线上,它们的横坐标分别为a,2a,…,na,O为坐标原点,记S1=,S2=,…,Sn=,求Sn.(用含n的代数式表示).
【答案】分析:(1)将x13+2x12+tx1-3x1-3x2-t=7变形得:x1(x12+2x1+t)-3(x1+x2)-t=7,又由x1,x2是方程x2+2x+t=0的两根,即可得:x12+2x1+t=0,x1+x2=-2,则解方程组,即可求得t的值,则可得k的值,问题的解;
(2)由点P1,P2,Pn都在反比例函数上,且横坐标分别为a,2a,na,则可求得点P1,P2,Pn的纵坐标,过点P1作P1A⊥x轴于点A,交OPn+1于点C,即可求得点C的坐标,利用三角形的面积间的关系,即可求得Sn的值.
解答:解:(1)由x13+2x12+tx1-3x1-3x2-t=7得:
∴x1(x12+2x1+t)-3(x1+x2)-t=7(﹡),
又∵x1,x2是方程x2+2x+t=0的两根,
∴x12+2x1+t=0,x1+x2=-2代入(﹡)式得:x10-3×(-2)-t=7,
∴t=-1,
∴y=x2+2x-1,将(1,d)代入得,d=2,
∴k=2,
∴;
(2)∴点P1,P2,Pn都在反比例函数上,且横坐标分别为a,2a,na,
∴点P1,P2,Pn的纵坐标分别为.
过点P1作P1A⊥x轴于点A,交OPn+1于点C,
过点Pn+1作Pn+1B⊥y轴于点B,
易求:,
∴C为(a,),
∴P1C=-=,
∴=,
∴.
点评:此题考查了反比例函数的性质,待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的几何意义等知识.此题难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键.
(2)由点P1,P2,Pn都在反比例函数上,且横坐标分别为a,2a,na,则可求得点P1,P2,Pn的纵坐标,过点P1作P1A⊥x轴于点A,交OPn+1于点C,即可求得点C的坐标,利用三角形的面积间的关系,即可求得Sn的值.
解答:解:(1)由x13+2x12+tx1-3x1-3x2-t=7得:
∴x1(x12+2x1+t)-3(x1+x2)-t=7(﹡),
又∵x1,x2是方程x2+2x+t=0的两根,
∴x12+2x1+t=0,x1+x2=-2代入(﹡)式得:x10-3×(-2)-t=7,
∴t=-1,
∴y=x2+2x-1,将(1,d)代入得,d=2,
∴k=2,
∴;
(2)∴点P1,P2,Pn都在反比例函数上,且横坐标分别为a,2a,na,
∴点P1,P2,Pn的纵坐标分别为.
过点P1作P1A⊥x轴于点A,交OPn+1于点C,
过点Pn+1作Pn+1B⊥y轴于点B,
易求:,
∴C为(a,),
∴P1C=-=,
∴=,
∴.
点评:此题考查了反比例函数的性质,待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数的几何意义等知识.此题难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键.
练习册系列答案
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已知二次函数y=x2+(2a+1)x+a2-1的最小值为0,则a的值是( )
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|
已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为( )
A、x1=1,x2=3 | B、x1=0,x2=3 | C、x1=-1,x2=1 | D、x1=-1,x2=3 |