题目内容
【题目】如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.
(1)求证:CG是⊙O的切线.
(2)求证:AF=CF.
(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.
【答案】(1)连接OC,由C是劣弧AE的中点,根据垂径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论。
(2)连接AC、BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°,∠B=∠1,而CD⊥AB,则∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF。
(3)2
【解析】试题分析:(1)连结OC,由C是劣弧AE的中点,根据垂径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)连结AC、BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°,∠B=∠1,而CD⊥AB,则∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF;
(3)在Rt△ADF中,由于∠DAF=30°,FA=FC=2,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1,AD=,再由AF∥CG,根据平行线分线段成比例得到DA:AG=DF:CF
然后把DF=1,AD=,CF=2代入计算即可.
(1)证明:连结OC,如图,
∵C是劣弧AE的中点,
∴OC⊥AE,
∵CG∥AE,
∴CG⊥OC,
∴CG是⊙O的切线;
(2)证明:连结AC、BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠2+∠BCD=90°,
而CD⊥AB,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠B=∠2,
∵C是劣弧AE的中点,
∴=,
∴∠1=∠B,
∴∠1=∠2,
∴AF=CF;
(3)解:在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2,
∴DF=AF=1,
∴AD=DF=,
∵AF∥CG,
∴DA:AG=DF:CF,即:AG=1:2,
∴AG=2.
【题目】用火柴棒按下列方式搭建三角形:
三角形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
火柴棒根数 | 3 | 5 | 7 | 9 | … |
(1)当三角形的个数为n时,火柴棒的根数是多少?
(2)求当n=100时,有多少根火柴棒?
(3)当火柴棒的根数为2017时,三角形的个数是多少?