Question

【题目】如图，的角平分线，，、所对的边记为、.

（1）当时，求的值；

（2）求的面积（用含，的式子表示即可）；

（3）求证：，之和等于，之积.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）过点作于点，利用直角三角形30度角的性质可知BE长，得，即点E、点D重合，中线与高线重合，可知AB=AC，即；

（2）表示方法有两种，可能情形1：过点作于点，过点作延长线于点，解直角三角形可得，，利用三角形面积公式可得

和的面积相加即可；可能情形2：过点作于点，解直角三角形可得，直接利用三角形面积公式求解即可；

（3）由（2）中面积的两种表示方法可直接证得结论.

解：（1）过点作于点

∵平分，∴.

在中，，.

∵，∴点与点重合，∴.

∴.

（2）答案不唯一.

可能情形1：过点作于点，过点作延长线于点

∵平分，∴.

∵在中，，，

在中，，

∴

.

可能情形2：过点作于点，用含的式子表示出，

于是.

（3）从上面两种面积表示方法，，可得，化简得，即，之和等于，之积.