Question

【题目】如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，3），B（b，1）两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，并求满足条件的点P的坐标；

（3）连接OA，OB，求△OAB的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标为（﹣，0）；（3）4

【解析】

（1）根据待定系数法，即可得到答案；

（2）先求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，再求出AD所在直线的解析式，进而即可求解；

（3）设直线AB与y轴交于E点，根据S△OAB＝S△OBE﹣S△AOE，即可求解．

（1）将点A(﹣1，3)代入y＝得：3＝，解得：k＝﹣3，

∴反比例函数的表达式为：y＝﹣；

（2）把B(b，1)代入y＝x+4得：b+4＝1，解得：b＝﹣3，

∴点B的坐标为(﹣3，1)，

作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图，

∵点B的坐标为(﹣3，1)，

∴点D的坐标为(﹣3，﹣1)．

设直线AD的函数表达式为：y＝mx+n，

将点A(﹣1，3）、D(﹣3，﹣1)代入y＝mx+n，得，解得，

∴直线AD的函数表达式为：y＝2x+5，

当y＝0时，2x+5＝0，解得：x＝﹣，

∴点P的坐标为(﹣，0)；

（3）设直线AB与y轴交于E点，如图，

令x＝0，则y＝0+4＝4，则点E的坐标为(0，4)，

∴S△OAB＝S△OBE﹣S△AOE＝×4×3﹣×4×1＝4．