题目内容

【题目】如图所示,抛物线轴交于AB两点,与轴交于点C,直线经过AC两点.

1)求抛物线的解析式;

2)点N轴上的动点,过点N轴的垂线,交抛物线与点M,交直线AC于点H

①点D在线段OC上,连结ADBD,当时,求的最小值;

②当时,将直线AD绕点A旋转,使直线AD轴交于点P,请直接写出点P的坐标.

【答案】1)抛物线的解析式为;(2)①的最小值为4;②点P的坐标为

【解析】

1)先根据直线的解析式求出点AC的坐标,再利用待定系数法求解即可得;

2)①先根据抛物线的解析式求出点B的坐标,从而可得AB的长,再根据等量代换、两点之间线段最短即可得出答案;

②如图(见解析),分两种情况讨论:先根据点AB坐标、等腰直角三角形的判定与性质得出DEAEOA的长,再根据相似三角形的判定与性质可得出OP的长,从而可得点P的坐标.

1)对于,令,令,解得

把点代入

解得

则抛物线的解析式为

2)①令

解得

由两点之间线段最短可知,的最小值为AB

的最小值为4

②由题意,分以下两种情况:

如图1,当直线AD绕点A顺时针旋转时,

为等腰直角三角形

,则为等腰直角三角形

中,

中,

,即

解得

如图2,当直线AD绕点A逆时针旋转时,

中,

,即

解得

综上,点P的坐标为

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