题目内容
【题目】如图所示,抛物线与
轴交于A、B两点,与
轴交于点C,直线
经过A、C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点N是轴上的动点,过点N作
轴的垂线,交抛物线与点M,交直线AC于点H.
①点D在线段OC上,连结AD、BD,当时,求
的最小值;
②当时,将直线AD绕点A旋转
,使直线AD与
轴交于点P,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为;(2)①
的最小值为4;②点P的坐标为
或
.
【解析】
(1)先根据直线的解析式求出点A、C的坐标,再利用待定系数法求解即可得;
(2)①先根据抛物线的解析式求出点B的坐标,从而可得AB的长,再根据等量代换、两点之间线段最短即可得出答案;
②如图(见解析),分两种情况讨论:先根据点A、B坐标、等腰直角三角形的判定与性质得出DE、AE、OA的长,再根据相似三角形的判定与性质可得出OP的长,从而可得点P的坐标.
(1)对于,令
得
,令
得
,解得
∴
把点代入
得
解得
则抛物线的解析式为;
(2)①令
解得
∴
∵
∴
由两点之间线段最短可知,的最小值为AB
即的最小值为4;
②由题意,分以下两种情况:
如图1,当直线AD绕点A顺时针旋转时,
∵
∴
为等腰直角三角形
∴
作,则
为等腰直角三角形
∵
∴
在中,
∴
在和
中,
∴
,即
解得
如图2,当直线AD绕点A逆时针旋转时,
∵
∴
作
在和
中,
∴
,即
解得
综上,点P的坐标为或
.

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