题目内容

精英家教网如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-
3
），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．
分析：此题文字比较多，而且图象也比较复杂，所以解题时需要理解题意．
（1）可以采用待定系数法求二次函数的解析式，因为点A（-1，0）、C（0，-
3
）在函数图象上，对称轴为x=1，也可求得A的对称点B的坐标为（3，0），列方程组即可求得解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为y=
3
3
x-
3
，则可求得点F的坐标为(m，
3
3
m-
3
)，再求得点P的纵坐标为
3
3
m2-
2
3
3
m-
3
，可得线段PF的长；
（3）利用面积和，△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=
1
2
PF•BO即可求得．
解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），
依题意得：
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=-
3
，（1分）
解得：
a=
3
3
b=-
2
3
3
c=-
3
，（2分）
∴所求二次函数的解析式为y=
3
3
x2-
2
3
3
x-
3
；（3分）

（2）∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为
3
3
m2-
2
3
3
m-
3
，（4分）
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
依题意，得
3k+b=0
b=-
3
，
∴
k=
3
3
b=-
3
，
故直线BC的解析式为y=
3
3
x-
3
，（5分）
∴点F的坐标为(m，
3
3
m-
3
)，
∴PF=-
3
3
m2+
3
m(0＜m＜3)；（6分）

（3）∵△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=
1
2
PF•BO=
1
2
×(-
3
3
m2+
3
m)×3=-
3
2
(m-
3
2
)2+
9
3
8
，
∴当m=
3
2
时，△PBC的最大面积为
9
3
8
，（8分）
把m=
3
2
代入y=
3
3
m2-
2
3
3
m-
3
，
得y=-
5
3
4
，
∴点P的坐标为(
3
2
，-
5
3
4
)．（10分）
点评：此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．
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（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
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k
x
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k
x
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