Question

（2012•泸州）如图，二次函数y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．
（1）当m=

3

2

时，求tan∠ADH的值；
（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；
（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S₁、S₂，且满足S₁=S₂，求点D到直线BC的距离．

Answer 1

分析：（1）先将m=

3

2

代入y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

，运用配方法改写成顶点式，求出顶点D，与x轴的交点A与B的坐标，得到DH，AH的长度，再根据正切函数的定义即可求出tan∠ADH的值；
（2）先将y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

运用配方法改写成顶点式，求出顶点D，与x轴的交点A与B的坐标，得到DH，AH的长度，再由抛物线的对称性可知当60°≤∠ADB≤90°时，30°≤∠ADH≤45°，然后根据30°，45°角的正切函数值及锐角三角函数的增减性即可求出m的变化范围；
（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．先运用待定系数法求出直线BC的解析式，则可用含m的代数式表示点M的坐标，再根据S_△DBC=S_△ABC求出m的值，从而得出A（-1，0），B（5，0），C（0，

5

2

），S_△ABC=

1

2

×6×

5

2

=

15

2

．设点D到直线BC的距离为d，根据S_△DBC=

1

2

BC•d=

15

2

，即可求出d的值．

解答：解：（1）∵当m=

3

2

时，y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴顶点D（

3

2

，

25

8

），与x轴的交点A（-1，0），B（4，0），
∴DH=

25

8

，AH=

3

2

-（-1）=

5

2

，
∴tan∠ADH=

AH

DH

=

5 2

25 8

=

4

5

；

（2）y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

=-

1

2

（x-m）²+

(m+1)2

2

，
∴顶点D（m，

(m+1)2

2

），
令y=-

1

2

x²+mx+m+

1

2

=0，解得：x=-1或2m+1
则与x轴的交点A（-1，0），B（2m+1，0），
∴DH=

(m+1)2

2

，AH=m-（-1）=m+1，
∴tan∠ADH=

m+1

(m+1)2 2

=

2

m+1

．
当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，
∴当∠ADH=30°时，

2

m+1

=

3

3

，
∴m=2

3

-1，
当∠ADH=45°时，

2

m+1

=1，
∴m=1，
∴1≤m≤2

3

-1；

（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．
设过点B（2m+1，0），C（0，m+

1

2

）的直线解析式为；y=kx+b，
则

(2m+1)k+b=0 b=m+ 1 2

，
解得

k=- 1 2 b=m+ 1 2

，
即y=-

1

2

x+m+

1

2

．
当x=m时，y=-

1

2

m+m+

1

2

=

m+1

2

，
∴M（m，

m+1

2

）．
∴DM=

(m+1)2

2

-

m+1

2

=

m(m+1)

2

，AB=（2m+1）-（-1）=2m+2，
又，∵S_△DBC=S_△ABC，
∴

m(m+1)

2

•（2m+1）=（2m+2）•（m+

1

2

），
又∵抛物线的顶点D在第一象限，
∴m＞0，解得m=2．
当m=2时，A（-1，0），B（5，0），C（0，

5

2

），
∴BC=

52+( 5 2 )2

=

5 5

2

，
∴S_△ABC=

1

2

×6×

5

2

=

15

2

．
设点D到直线BC的距离为d．
∵S_△DBC=

1

2

BC•d，
∴

1

2

×

5 5

2

•d=

15

2

，
∴d=

6 5

5

．
答：点D到直线BC的距离为

6 5

5

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求函数的解析式，抛物线的顶点坐标公式，正切函数的定义，三角形的面积以及点到直线的距离的求法，综合性较强，有一定难度．其中（3）正确表示S_△DBC=

1

2

DM•OB，从而根据S_△DBC=S_△ABC求出m的值是解题的关键．