Question

（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M₁，M₂，M₃，…M_n分别为边B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中点，△B₁C₁M₁的面积为S₁，△B₂C₂M₂的面积为S₂，…△B_nC_nM_n的面积为S_n，则S_n=

1

4(2n-1)

．（用含n的式子表示） 

Answer 1

分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M₁，M₂，M₃，…M_n分别为边B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中点，即可求得△B₁C₁M_n的面积，又由B_nC_n∥B₁C₁，即可得△B_nC_nM_n∽△B₁C₁M_n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．

解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M₁，M₂，M₃，…M_n分别为边B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中点，
∴S₁=

1

2

×B₁C₁×B₁M₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
S_△B1C1M2=

1

2

×B₁C₁×B₁M₂=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
S_△B1C1M3=

1

2

×B₁C₁×B₁M₃=

1

2

×1×

5

2

=

5

4

，
S_△B1C1M4=

1

2

×B₁C₁×B₁M₄=

1

2

×1×

7

2

=

7

4

，
S_△B1C1Mn=

1

2

×B₁C₁×B₁M_n=

1

2

×1×

2n-1

2

=

2n-1

4

，
∵B_nC_n∥B₁C₁，
∴△B_nC_nM_n∽△B₁C₁M_n，
∴S_△BnCnMn：S_△B1C1Mn=（

BnMn

B1Mn

）²=（

1 2

2n-1 2

）²，
即S_n：

2n-1

4

=

1

(2n-1)2

，
∴S_n=

1

4(2n-1)

．
故答案为：

1

4(2n-1)

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．