题目内容

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP．点D是弦AB所对劣弧上的任一点（异于点A、B），过点D作DE⊥AB于点E，以点D为圆心，DE长为半径作⊙D，连接AD、BD．分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线交于点C．下列结论：
①AB=
3
；②∠ACB为定值60°；③∠ADB=2∠ACB；④设△ABC的面积为S，若
S
DE2
=4
3
则△ABC的周长为3．
其中正确的有（　　）
分析：①在RT△AOF中求出AF，然后可得出AB的长度；②求出AOB，然后利用圆周角的知识求出∠ADB，继而可得出∠C；③根据②的解答过程即可判断出正确与否；④根据切线的性质表示出△ABC的面积，然后根据
S
DE2
=4
3
，解出DE，继而可得出周长．
解答：解：①

由题意得，OF=
1
2
、OA=1，在RT△AOF中，可得AF=
3
2
，从而可得AB=2AF=
3
，故①正确；
②由OF=
1
2
OA，可得∠AOF=60°，从而∠AOB=120°，即劣弧AB=120°，优弧AB=240°，从而∠ADB=120°，
∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°，∠ADB+
1
2
（∠CAB+∠CBA）=180°，
∴解得∠C=60°，故②正确；
③根据②的证明过程可得出∠ADB=120°，∠C=60°，故可得∠ADB=2∠ACB，即③正确；
④
由①得，AB=
3
，
∵△ABC的面积为S=
1
2
（AB+AN+CN+BC）×DE=
1
2
（2
3
+2CN）×DE，
∵△ABC的面积为S，
S
DE2
=4
3
，
∴
1
2
(2
3
+2CN)×DE
DE2
=4
3
，
3
DE+
3
DE2
DE2
，
∵DE=DN=
1
2
CD，
∴CN=
3
DE，
∴可得
3
+
3
DE
DE
=4
3
，
解得：DE=
1
3
，
△ABC的周长=AB+AC+BC=
S
DE
=4
3
DE=
4
3
3
故④错误．
综上可得①②③正确．
故选A．
点评：此题考属于圆的综合题目，涉及了切线的性质、角平分线的性质、三角形的面积，④的判断比较麻烦，需要先求出DE的长度，对于此类题目可以利用排除法来作，这样可以省下不少时间．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，⊙O的半径为5，AB=5
3
，C是圆上一点，则∠ACB=
 
度．
精英家教网如图，⊙O的半径为3，直径AB⊥弦CD，垂足为E，点F是BC的中点，那么EF2+OF2=
 
．
精英家教网如图，⊙O的半径为
5
，圆心与坐标原点重合，在直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点，则⊙O上格点有
 
个，设L为经过⊙O上任意两个格点的直线，则直线L同时经过第一、二、四象限的概率是
 
．
精英家教网如图，⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，两弦位于圆心O的两侧，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD的距离．
如图，⊙O的半径为5，P是弦MN上的一点，且MP：PN=1：2．若PA=2，则MN的长为
6
2
6
2
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网