题目内容

【题目】如图,矩形中,,将矩形绕点旋转得到矩形,使点的对应点落在上,于点,在上取点,使

1)求证:

2)求的度数;

3)若,求的长.

【答案】1)见解析;(215°;(32+2

【解析】

1)在直角三角形ABC中,由AC=2AB,得到∠ACB=30°,再由折叠的性质得到一对角相等,利用等角对等边即可得证;
2)由(1)得到ABB′为等边三角形,利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°,即可求出所求角度数;
3)连接AF,过AAMBF,可得AB′F是等腰直角三角形,AB′B为等边三角形,分别利用三角函数定义求出MFAM,根据AM=BM,即BM+MF=BF即可求出.

1)证明:∵在RtABC中,AC=2AB
∴∠ACB=AC′B′=30°,∠BAC=60°
由旋转可得:AB′=AB,∠B′AC′=BAC=60°
∴∠EAC′=AC′B′=30°


AE=C′E
2)解:由(1)得到ABB′为等边三角形,
∴∠AB′B=60°,即∠BB'F=AB'B+AB'F=150°
BB'=B'F
∴∠FBB′=B'FB=15°
3)解:连接AF,过AAMBF,可得AB′F是等腰直角三角形,AB′B为等边三角形,
∴∠AFB′=45°,∠BB′F=150°
BB′=B′F
∴∠B′FB=B′BF=15°
∴∠AFM=30°,∠ABF=45°
RtAMF中,AM=BM=ABcosABM=2=2
RtAMF中,MF=AM=2
BF=2+2

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