Question

二次函数y=

2

3

x²的图象如图所示，点A₀位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈在二次函数y=

2

3

x²第一象限的图象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈都为等边三角形，请计算△A₀B₁A₁的边长=

 

；△A₁B₂A₂的边长=

 

；△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长=

 

．

Answer 1

分析：先计算出△A₀B₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的边长，推理出各边长组成的数列各项之间的排列规律，依据规律得到△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长．

解答：解：作B₁A⊥y轴于A，B₂B⊥y轴于B，B₃C⊥y轴于C．
设等边△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等边△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°=

3

a，代入解析式得

2

3

×（

3

a）²=a，解得a=0（舍去）或a=

1

2

，于是等边△A₀B₁A₁的边长为

1

2

×2=1；
②等边△A₂B₂A₁中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=

3

b，B₂点坐标为（

3

b，1+b）代入解析式得

2

3

×（

3

b）²=1+b，
解得b=-

1

2

（舍去）或b=1，
于是等边△A₂B₁A₁的边长为1×2=2；
③等边△A₂B₃A₃中，A₂C=c，
所以CB₃=btan60°=

3

c，B₃点坐标为（

3

c，3+c）代入解析式得

2

3

×（

3

c）²=3+c，
解得c=-1（舍去）或c=

3

2

，
于是等边△A₃B₃A₂的边长为

3

2

×2=3．
于是△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的边长为2008．

点评：此题将二次函数和等边三角形的性质结合在一起，是一道开放题，有利于培养同学们的探索发现意识．