题目内容
【题目】如图,、
是正方形,
在
上,直线
、
交于
,且
,
、
交于
,当
在线段
(不与
、
重合)上运动时,下列四个结论:①
;②
、
所夹的锐角为
;③
;④若
平分
,则正方形
的面积为4,其中结论正确的是__(填序号)
【答案】①②③④
【解析】
由已知条件可证得△BEC≌△DGC,∠EBC=∠CDG,因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°,所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°,即∠BHD=90°,故①正确;由题意得、
、
、
、
五点都在以
为直径的圆上,根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°,故②正确;由②的五点共圆,可得∠BAH=∠BDH,而∠ABD=∠DBG=45°,由此可判定△ABM∽△DBG,根据相似三角形的性质即可得到③正确;过
作
于
,连接
,若BE平分∠DBC,那么H是DG的中点,易证得
,求出
,然后证明
,可得
,即
,由此可知④正确.
解:① ,
,
,
,
,
,
,
∴∠BHD=90°,即,故①正确;
②由于、
、
都是直角,因此
、
、
、
、
五点都在以
为直径的圆上,由圆周角定理知:
,故②正确;
③由②知:、
、
、
、
五点共圆,则
,
又,
,
∴,
∴,故③正确;
④过作
于
,连接
;
若BE平分∠DBC,且,
∴是
中点,
∴垂直平分
,
∴,
为
的中位线,
设,则
,
,
,
,
,
,
,
,
,
∴,即
,
,即
,
,且
,
,
∴,即
,
∴,
∴,即正方形
的面积为4,故④正确;
故答案为:①②③④.