题目内容

【题目】如图,是正方形,上,直线交于,且交于,当在线段(不与重合)上运动时,下列四个结论:①;②所夹的锐角为;③;④若平分,则正方形的面积为4,其中结论正确的是__(填序号)

【答案】①②③④

【解析】

由已知条件可证得BEC≌△DGC,∠EBC=∠CDG,因为∠BDC+∠DBH+∠EBC90°,所以∠BDC+∠DBH+∠CDG90°,即∠BHD90°,故①正确;由题意得五点都在以为直径的圆上,根据圆周角定理即可得到∠AHD45°,故②正确;由②的五点共圆,可得∠BAH=∠BDH,而∠ABD=∠DBG45°,由此可判定ABM∽△DBG,根据相似三角形的性质即可得到③正确;过,连接,若BE平分∠DBC,那么HDG的中点,易证得,求出,然后证明,可得,即,由此可知正确.

解:①

∴∠BHD90°,即,故①正确;

②由于都是直角,因此五点都在以为直径的圆上,由圆周角定理知:,故②正确;

③由②知:五点共圆,则

,故③正确;

④过,连接

BE平分∠DBC,且

中点,

垂直平分

的中位线,

,则

,即

,即

,且

,即

,即正方形的面积为4,故④正确;

故答案为:①②③④.

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