Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC、BC.

（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若⊙O的半径为2，∠A =60°，求CE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC
∵ CD切⊙O于点C，OC是半径
∴ OC⊥CD于C
∴ ∠OCD=90°
∵ BE⊥CD于E
∴ ∠BED=90°
∴ ∠OCD=∠BED
∴ OC∥BE
∴ ∠OCB=∠CBE
∵ OC=OB
∴ ∠OCB=∠OBC
∴ ∠CBE=∠OBC
∴ BC平分∠ABE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°
∵⊙O的半径为2，
∴AB = 4
在Rt△ABC中，
∵∠A =60°∴∠OBC=30°∴AC = AB =" 2"
∴ BC = 
∵∠CBE=∠OBC
∴∠CBE=30°
∴在Rt△BCE中，CE = BC =  

（1）利用切线的性质首先得出∠OCB=∠CBE，进而得出∠CBE=∠OBC即可求出BC平分∠ABE；
（2）首先勾股定理得出BC=，进而求出∠CBE=∠ABC=90°-∠A=30°，即可求出CE的长。