Question

【题目】如图（1），两个等腰直角三角形ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE＝2，AB=1.将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M.将图（1）中的△ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k.请解答下列问题：

（1）①当点C与点F重合时，如图（2）所示，此时的值为 .

②在平移过程中，的值为 （用含k的代数式表示）.

（2）将图（2）中的△ABC绕点C逆时针旋转，使点A落在线段DF上，如图（3）所示，将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M，请补全图形，并计算的值.

（3）将图（1）中的△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α≤45°），将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M，计算的值（用含k的代数式表示）.

Answer 1

【答案】（1）①1；②；（2）图详见解析，=1；（3）.

【解析】

（1）①当点C与点F重合时，延长BA交EM的延长线于点N，利用等腰三角形性质得出DE=AN，由此进一步证明△DEM与△AMN全等，最后进一步求出答案即可；②延长BA交EM的延长线于点N，先利用等腰三角形性质得出EC=AN=，然后证明△DEM与△ANM相似，据此进一步求出答案即可；

（2）连接AE，先证明△AEM与△FEB相似，由此进一步利用相似三角形性质求出答案即可；

（3）过点B作BG⊥BE，交直线EM于点G，连接AG，先证明△AGM与△DEM相似，由此进一步利用相似三角形性质求出答案即可.

（1）①当点C与点F重合时，如下图，延长BA交EM的延长线于点N，

由题意得可得：∠NEB=45°，∠ABE=90°，

∴△EBN是等腰直角三角形，

∴BE=BN，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，

∴AN=EC，

又∵△DEF是等腰三角形，

∴DE=EF，

∴AN=EC=DE，

∵DE∥AN，

∴∠DEN=∠N，

在△DME与△AMN中，

∵∠DME=∠AMN，∠DEN=∠N，DE=AN，

∴△DEM△AMN（AAS），

∴DM=AM，

∴；

②如图，延长BA交EM的延长线于点N，

由题意得可得：∠NEB=45°，∠ABE=90°，

∴△EBN是等腰直角三角形，

∴BE=BN，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=BC，

∴EC=AN=，

∵DE∥AN，

∴△DEM~△ANM，

∴

故答案为：①1，②；

（2）补全如图所示，连接AE，

∵△ABC、△DEF均为等腰直角三角形，DE＝2，AB＝1，

∴EF＝2，BC=1，∠DEF＝90°，∠DFE＝∠ACB＝45°，

∴DF＝2，AC=，∠EFB＝90°，

∴DF=2AC，AD=，

∵点A为CD的中点，

∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，

∴∠MAE＝90°，∠AEF＝45°，AE＝，

∵∠BEM＝45°，

∴∠MEA+∠AEB＝∠BEF+∠AEB＝45°，

∴∠MEA=∠BEF，

∴△AEM~△FEB，

∴，

∴AM=，

∴DM=AD－AM=，

∴=1；

（3）如图，过点B作BG⊥BE，交直线EM于点G，连接AG，

∴∠EBG=90°,

∵∠BEM＝45°，

∴∠EGB＝45°，

∴BE=BG，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABG＝∠CBE，

∴△ABG△CBE，

∴AG＝EC=，∠AGB=∠CEB，

∵∠AGB+∠AGE＝∠DEM+∠CEB＝45°，

∴∠AGE＝∠DEM，

∴AG∥DE，

∴△AGM~△DEM，

∴.