题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQBD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3m/s,以O为圆心,0.8cm为半径作O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s)(0t).

(1)如图1,连接DQ平分BDC时,t的值为

(2)如图2,连接CM,若CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;

(3)在运动过程中,当直线MN与O相切时,求t的值.

【答案】(1) t=1;(2) t=s时,CMQ是以CQ为底的等腰三角形;(4) ,当直线MN与O相切时,t的值是s或s.

【解析】

试题分析:(1)根据速度和时间表示PB=4t,利用同角的三角函数列式为:tanDBC= ,得PQ=3t;则BQ=5t,根据角平分线的性质得:CQ=PQ,列方程可得结果;(2)如图2中,作MTBC于T,由等腰三角形三线合一得:TQ=(8﹣5t),证明QTM∽△BCD,列比例式得,代入可得方程,解方程即可;(3)由题意OEF=DEN=ADB,则sinOEF=sinDEN=sinADB=3:5,分两种情况:若点O在正方形外MN与O相切,如图3所示,根据同角的三角函数列式可得结果;若点O在正方形内MN与O相切,如图4所示,同理列式:,解出即可.

试题解析:(1)由题意得:PB=4t,

四边形ABCD是矩形,

∴∠C=90°

PQBC

∴∠BPQ=90°

BC=AD=8,CD=6

tanDBC=

PQ=3t

由勾股定理得:BQ=5t

CQ=BC﹣BQ=8﹣5t,

DQ平分BDC,DCBC,

CQ=PQ,

则8﹣5t=3t,

t=1;

故答案为:1;

(2)如图2中,作MTBC于T,

MC=MQ,MTCQ,

TC=TQ,

由(1)可知TQ=(8﹣5t),QM=PQ=3t,

四边形PQMN为正方形,

MQPN,

∴∠MQT=DBC,

∴△QTM∽△BCD,

t=(s);

t=s时,CMQ是以CQ为底的等腰三角形;

(3)设MN与O相切于点F,与CD交于点E,则OF=0.8,

由题意OEF=DEN=ADB,

sinOEF=sinDEN=sinADB=3:5,

OE=

若点O在正方形外MN与O相切,如图3所示,

OD=3t,

DE=3t+

BP=4t,NP=PQ=3t,

DN=10﹣7t,

t=

若点O在正方形内MN与O相切,如图4所示,

OD=3tDE=3t﹣

BP=4t,NP=PQ=3t,

DN=10﹣7t,

t=

综上所述,当直线MN与O相切时,t的值是s或s.

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