题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点B出发,沿对角线BD向点D匀速运动,速度为4cm/s,过点P作PQ⊥BD交BC于点Q,以PQ为一边作正方形PQMN,使得点N落在射线PD上,点O从点D出发,沿DC向点C匀速运动,速度为3m/s,以O为圆心,0.8cm为半径作⊙O,点P与点O同时出发,设它们的运动时间为t(单位:s)(0<t<).
(1)如图1,连接DQ平分∠BDC时,t的值为 ;
(2)如图2,连接CM,若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形,求t的值;
(3)在运动过程中,当直线MN与⊙O相切时,求t的值.
【答案】(1) t=1;(2) t=s时,△CMQ是以CQ为底的等腰三角形;(4) ,当直线MN与⊙O相切时,t的值是s或s.
【解析】
试题分析:(1)根据速度和时间表示PB=4t,利用同角的三角函数列式为:tan∠DBC= ,得PQ=3t;则BQ=5t,根据角平分线的性质得:CQ=PQ,列方程可得结果;(2)如图2中,作MT⊥BC于T,由等腰三角形三线合一得:TQ=(8﹣5t),证明△QTM∽△BCD,列比例式得,代入可得方程,解方程即可;(3)由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB,则sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3:5,分两种情况:①若点O在正方形外MN与⊙O相切,如图3所示,根据同角的三角函数列式可得结果;②若点O在正方形内MN与⊙O相切,如图4所示,同理列式:,解出即可.
试题解析:(1)由题意得:PB=4t,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°
∵PQ⊥BC
∴∠BPQ=90°
∵BC=AD=8,CD=6
∴tan∠DBC=
∴
∴PQ=3t
由勾股定理得:BQ=5t
∴CQ=BC﹣BQ=8﹣5t,
∵DQ平分∠BDC,DC⊥BC,
∴CQ=PQ,
则8﹣5t=3t,
t=1;
故答案为:1;
(2)如图2中,作MT⊥BC于T,
∵MC=MQ,MT⊥CQ,
∴TC=TQ,
由(1)可知TQ=(8﹣5t),QM=PQ=3t,
∵四边形PQMN为正方形,
∴MQ∥PN,
∴∠MQT=∠DBC,
∴△QTM∽△BCD,
∴,
∴,
∴t=(s);
∴t=s时,△CMQ是以CQ为底的等腰三角形;
(3)设MN与⊙O相切于点F,与CD交于点E,则OF=0.8,
由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB,
∴sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3:5,
∴ ,
∴,
∴OE= ,
①若点O在正方形外MN与⊙O相切,如图3所示,
∵OD=3t,
∴DE=3t+,
∵BP=4t,NP=PQ=3t,
∴DN=10﹣7t,
∴,
∴t=;
②若点O在正方形内MN与⊙O相切,如图4所示,
∵OD=3t∴DE=3t﹣,
∵BP=4t,NP=PQ=3t,
∴DN=10﹣7t,
∴,
∴t=,
综上所述,当直线MN与⊙O相切时,t的值是s或s.