Question

如图，有一块直角三角形土地，它两条直角边AB=300米，AC=400米，某单位要沿着斜边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上，设EF为x，矩形面积为y．
（1）求△ABC中BC上的高AH；
（2）求y与x之间的函数关系；
（3）当矩形的长x取何值时，这个矩形的面积最大？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理列式求出斜边BC的长，再根据三角形的面积列式进行计算即可得解；
（2）设DE为a，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式用x表示出a，再根据矩形的面积列式整理即可；
（3）把y、x的函数关系式整理成顶点式解析式，再根据二次函数的最值问题解答即可．

解答：解：（1）∵AB=300米，AC=400米，
∴BC=

3002-4002

=500米，
∵AH是直角三角形的斜边上的高，
∴AH=

300×400

500

=240米；

（2）设DE=a，∵△ADG∽△ABC，
∴

AH-a

AH

=

DG

BC

，
即

240-a

240

=

x

500

，
∴a=-

12

25

x+240，
∴y=x（-

12

25

x+240）=-

12

25

x²+240x；

（3）y=-

12

25

x²+240x=-

12

25

（x-250）²+3000，
∴当x=250时，y取得最大值为3000．

点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，勾股定理的应用，二次函数的最值问题，（2）求出矩形的宽DE是解题的关键．