Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a，b满足关系式|a-4|+（b-2）²=0，c=a+b．
（1）求A、B、C三点的坐标，并在坐标系中描出各点；
（2）在坐标轴上是否存在点Q，使△COQ得面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积．

Answer 1

分析：（1）根据非负数的性质列式求出a、b，再求出c，然后在平面直角坐标系中找出点A、B、C的位置即可；
（2）先求出△ABC的面积，再分点Q在x轴上和点Q在y轴上两种情况求出OQ的长，然后分情况写出点Q的坐标即可；
（3）根据S_{四边形BCPO}=S_△BOP+S_△COP列式计算即可得解．

解答：解：（1）根据题意得，a-4=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
∴c=4+2=6，
∴点A（0，4），B（2，2），C（6，4）；

（2）S_△ABC=

1

2

×6×2=6，
点Q在x轴上时，S_△COQ=

1

2

OQ•4=6，
解得OQ=3，
∴点Q的坐标为（-3，0）或（3，0），
点Q在y轴时，S_△COQ=

1

2

OQ•6=6，
解得OQ=2，
∴点Q的坐标为（0，-2）或（0，2），
综上所述，点Q的坐标为（-3，0）或（3，0）或（0，-2）或（0，2）；

（3）S_{四边形BCPO}=S_△BOP+S_△CBP，
=

1

2

×（2-m）×2+

1

2

×（2-m）×（6-2），
=2-m+4-2m，
=6-3m．

点评：本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，以及三角形的面积，（2）难点在于要分情况讨论，（3）把四边形的面积分成两个三角形的面积是解题的关键．