题目内容
如图,在直角坐标系xOy中,Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A,C始终在x轴的正半轴上,B,D在第一象限内,点B在直线OD上方,OC=CD,OD=2,M为OD的中点,AB与OD相交于E,当点B位置变化时,Rt△OAB的面积恒为
.
试解决下列问题:
(1)点D坐标为( );
(2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简;
(3)等式BO=BD能否成立?为什么?
(4)设CM与AB相交于F,当△BDE为直角三角形时,判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.
1 |
2 |
试解决下列问题:
(1)点D坐标为( );
(2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简;
(3)等式BO=BD能否成立?为什么?
(4)设CM与AB相交于F,当△BDE为直角三角形时,判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.
(1)D(
,
);(1分)
(2)由Rt△OAB的面积为
,得B(t,
),
∵BD2=AC2+(AB-CD)2,
∴BD2=(
-t)2+(
-
)2=t2+
-2
(t+
)+4①
=(t+
)2-2
(t+
)+2=(t+
-
)2,
∴BD=|t+
-
|=t+
-
②;
(3)解法一:若OB=BD,则OB2=BD2.
在Rt△OAB中,OB2=OA2+AB2=t2+
.
由①得t2+
=t2+
-2
(t+
)+4.
解得:t+
=
,∴t2-
t+1=0,
∵△=(
)2-4=-2<0,∴此方程无解.
∴OB≠BD.
解法二:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上.
∵C(
,0),在等腰Rt△OCM中,可求得M(
,
),
∴直线CM的函数关系式为y=-x+
,③
由Rt△OAB的面积为
,得B点坐标满足函数关系式y=
.④
联立③,④得:x2-
x+1=0,
∵△=(
)2-4=-2<0,∴此方程无解,
∴OB≠BD.
解法三:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上,如图1
过点B作BG⊥y轴于G,CM交y轴于H,
∵S△OBG=S△OAB=
,
而S△OMH=S△MOC=
S△DOC=
×
×
×
=
,(5分)
显然与S△HMO与S△OBG矛盾.
∴OB≠BD.
(4)如果△BDE为直角三角形,因为∠BED=45°,
①当∠EBD=90°时,此时F,E,M三点重合,如图2
∵BF⊥x轴,DC⊥x轴,∴BF∥DC.
∴此时四边形BDCF为直角梯形.
②当∠EDB=90°时,如图3
∵CF⊥OD,
∴BD∥CF.
又AB⊥x轴,DC⊥x轴,
∴BF∥DC.
∴此时四边形BDCF为平行四边形.
下证平行四边形BDCF为菱形:
解法一:在△BDO中,OB2=OD2+BD2,
∴t2+
=4+t2+
-2
(t+
)+4,
∴t+
=2
,
[方法①]t2-2
t+1=0,∵BD在OD上方
解得:t=
-1,
=
+1或t=
+1,
=
-1(舍去).
得B(
-1,
+1),
[方法②]由②得:BD=t+
-
=2
-
=
,
此时BD=CD=
,
∴此时四边形BDCF为菱形(9分)
解法二:在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中
∵OA=AE=t,OE=
t,则ED=BD=2-
t,
∴AB=AE+BE=t+
(2-
t)=2
-t,
∴2
-t=
,即t+
=2
以下同解法一,
此时BD=CD=
2 |
2 |
(2)由Rt△OAB的面积为
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t |
∵BD2=AC2+(AB-CD)2,
∴BD2=(
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t |
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t2 |
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t |
=(t+
1 |
t |
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t |
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t |
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∴BD=|t+
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t |
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t |
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(3)解法一:若OB=BD,则OB2=BD2.
在Rt△OAB中,OB2=OA2+AB2=t2+
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t2 |
由①得t2+
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t2 |
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t |
解得:t+
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t |
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∵△=(
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∴OB≠BD.
解法二:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上.
∵C(
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| ||
2 |
| ||
2 |
∴直线CM的函数关系式为y=-x+
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由Rt△OAB的面积为
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x |
联立③,④得:x2-
2 |
∵△=(
2 |
∴OB≠BD.
解法三:若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上,如图1
过点B作BG⊥y轴于G,CM交y轴于H,
∵S△OBG=S△OAB=
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而S△OMH=S△MOC=
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显然与S△HMO与S△OBG矛盾.
∴OB≠BD.
(4)如果△BDE为直角三角形,因为∠BED=45°,
①当∠EBD=90°时,此时F,E,M三点重合,如图2
∵BF⊥x轴,DC⊥x轴,∴BF∥DC.
∴此时四边形BDCF为直角梯形.
②当∠EDB=90°时,如图3
∵CF⊥OD,
∴BD∥CF.
又AB⊥x轴,DC⊥x轴,
∴BF∥DC.
∴此时四边形BDCF为平行四边形.
下证平行四边形BDCF为菱形:
解法一:在△BDO中,OB2=OD2+BD2,
∴t2+
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t2 |
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t |
∴t+
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t |
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[方法①]t2-2
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解得:t=
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t |
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1 |
t |
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得B(
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2 |
[方法②]由②得:BD=t+
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t |
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此时BD=CD=
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∴此时四边形BDCF为菱形(9分)
解法二:在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中
∵OA=AE=t,OE=
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2 |
∴AB=AE+BE=t+
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∴2
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t |
1 |
t |
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此时BD=CD=
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