Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D点作DF⊥AC于F，有下列结论：
①DE=DC；②DF为⊙O的切线；③劣弧DB=劣弧DE；④AE=2EF
其中正确的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ②③④

Answer 1

A
分析：连接OD，AD，OE，首先由AB是⊙O的直径，得出AD⊥BC，推出BD=DC，有等腰三角形的性质：三线合一可推出DE=DC；进而得到劣弧DB=劣弧DE；因为0A=OB推出OD是△ABC的中位线，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切线；如果AE=2EF，则AE=CE，OE=BC=BD，所以△OBD为等边三角形，而题目的条件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成．
解答：连接OD，AD，OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
∵在△ABC中，AB=AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC，
∴BD=DE，劣弧DB=劣弧DE故①③正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线，故②正确；
假设AE=2EF，
∵∠B=∠C，∠DEC=∠B，
∴∠C=∠DEC，
∵DF⊥AC，
∴EF=CF，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴OE=BC，
∵OE=OB，
0B=BD=OD，
∴△ODB是等边三角形，
因为题目的条件只是等腰三角形，所以AE=2EF不一定成了，
∴正确的结论有②③．
故选A．
点评：此题考查的知识点是切线的判定与性质、等腰三角形的性质及圆周角定理，解答此题的关键是运用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答．