题目内容
【题目】在数学研究课上,老师出示如图1所示的长方形纸条,,,然后在纸条上任意画一条截线段,将纸片沿折叠,与交于点,得到,如图2所示:
(1)若,求的大小;
(2)改变折痕位置,判断的形状,并说明理由;
(3)爱动脑筋的小明在研究的面积时,发现边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出的面积最小值为,求的大小;
(4)小明继续动手操作,发现了面积的最大值,请你求出这个最大值.
【答案】(1)∠MKN=40°;(2)等腰三角形;(3)45°或135°;(4)△MNK的面积最大值为1.3.
【解析】
(1)根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM,∠KMN的度数,根据三角形内角和即可求解;
(2)利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出KM=KN;
(3)利用当△KMN的面积最小值为时,KN=BC=1,故KN⊥B′M,得出∠1=∠NMB=45°,同理当将纸条向下折叠时,∠1=∠NMB=135°;
(4)分情况一:将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合;情况二:将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC两种情况讨论求解.
(1)如图1,
∵四边形ABCD是长方形,
∴AM∥DN,
∴∠KNM=∠1,
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°,
∴∠MKN=40°;
(2)等腰三角形,理由如下:
∵AM∥BN,∴∠1=∠MND,
∵将纸片沿MN折叠,∴∠1=∠KMN,∠MND=∠KMN,
∴KM=KN,
故的形状是等腰三角形;
(3)如图2,当△KMN的面积最小值为时,KN=BC=1,故KN⊥B′M,
∵∠NMB=∠KMN,∠KMB=90°,
∴∠1=∠NMB=45°,
同理当将纸条向下折叠时,∠1=∠NMB=135°,
所以∠1的度数为45°或135°;
(4)分两种情况:
情况一:如图3,将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合,
MK=MB=x,则AM=5﹣x,
由勾股定理得12+(5﹣x)2=x2,
解得x=2.6,
∴MD=ND=2.6,
S△MNK=S△MND=×1×2.6=1.3;
情况二:如图4,将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC,
MK=AK=CK=x,则DK=5﹣x,
同理可得MK=NK=2.6,
∵MD=1,
∴S△MNK=×1×2.6=1.3,
所以△MNK的面积最大值为1.3.