Question

【题目】B，C是⊙O上的两个定点，A是圆上的动点，0°＜∠BAC＜90°，BD∥AC，CD∥AB．

（1）如图1，如果△ABC是等边三角形，求证BD是⊙O的切线：

（2）如图2，如果60°＜∠BAC＜90°，BD，CD分别交⊙O于E，F，研究五边形ABEFC的性质；

①探索AE、AF和BC的数量关系，并证明你的结论：

②如图3，若⊙O的半径为4，∠BAC＝75°，求边EF的长；

③若AB＝c，AC＝b，直接写出BE，CF的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①AE＝BC，AF＝BC，理由见解析；②EF＝4；③＝．

【解析】

（1）想办法证明OB⊥BD即可解决问题．

（2）①结论：AE＝BC，AF＝BC．想办法证明弧AB=弧EC,弧AE=弧BC即可解决问题．

②如图3中，连接OE，OF，EC，BF．证明△OEF是等边三角形即可解决问题．

③利用相似三角形的性质解决问题即可．

解：（1）如图1中，

∵BD∥AC，CD∥AB，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴AB＝CD，BD＝AC，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，

∴BC＝BD＝CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠CBD＝60°，

∵点O是等边△ABC的外心，

∴∠OCB＝30°，

∴∠OBD＝90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线．

（2）①结论：AE＝BC，AF＝BC．

理由：如图2中，连接BF，EC．

∵BD∥AC，

∴∠ACB＝∠CBE，

∴弧AB=弧EC,

∴弧AE=弧BC，

∴AE＝BC，同法可证：AF＝BC．

②如图3中，连接OE，OF，EC，BF．

由①可知AE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∵弧AE=弧BC，

∴∠ACE＝∠BAC＝75°，

∴∠AFE＝∠ACE＝75°，

∴∠AEF＝∠AFE＝75°，

∴∠EAF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

∴∠EOF＝2∠EAF＝60°，

∵OE＝OF，

∴△OEF是等边三角形，

∴EF＝OE＝4．

③结论： ．
理由：如图3中，∵∠EFD+∠EFC=180°，∠EFC+∠DBC=180°，
∴∠EFD=∠DBC，
∴△DFE∽△DBC，
∴△DFE∽△DBC，
∴ ，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴AB=CD=c，BD=AC=b，
∴ ．