题目内容
【题目】如图,矩形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,过O作EF⊥AC,交AD于E,交BC于F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AECF是菱形
(2)若AB=3,BC=4,则菱形AECF的周长?
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF,
∵EF⊥AC,
∴∠AOE=∠COF=90°,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AEO≌△CFO,
∴OE=OF,
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形
(2)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=3,BC=AD=4,
AE=CE=x,则DE=4﹣x,在直角三角形EDC中由勾股定理可得:CE2=DE2+CD2,
即a2=(4﹣a)2+32,
解得:a= ,
∴菱形AECF的周长=4× =12.5
【解析】(1)利用已知条件和矩形的性质易证△AEO≌△CFO,进而可得四边形AECF是平行四边形,又因为EF⊥AC,所以可证明四边形AECF是菱形(2)设AE=CE=x,则DE=4﹣x,在直角三角形EDC中,利用勾股定理可求出x的值,进而可求出菱形的周长.
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质,掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等即可以解答此题.
【题目】瑶寨中学食堂为学生提供了四种价格的午餐供其选择,这四种价格分别是:A.3元,B.4元,C.5元,D.6元.为了了解学生对四种午餐的购买情况,学校随机抽样调查了甲、乙两班学生某天购买四种午餐的情况,依据统计数据制成如下的统计图表:
甲、乙两班学生购买午餐的情况统计表
品种 | A | B | C | D |
甲 | 6 | 22 | 16 | 6 |
乙 | ? | 13 | 25 | 3 |
(1)求乙班学生人数;
(2)求乙班购买午餐费用的中位数;
(3)已知甲、乙两班购买午餐费用的平均数为4.44元,从平均数和众数的角度解答,哪个班购买的午餐价格较高?
(4)从这次接受调查的学生中,随机抽查一人,恰好是购买C种午餐的学生的概率是多少?