题目内容
【题目】如图1，抛物线l1；y=ax2+bx+c（a＜0）经过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），点A为顶点，且直线OA的解析式为y=x．
（1）如图1，求抛物线l1的解析式；
（2）如图2，将抛物线l1绕原点O旋转180°，得到抛物线l2 ， l2与x轴交于点B′，顶点为A′，点P为抛物线l1上一动点，连接PO交l2于点Q，连接PA、PA′、QA′、QA．
请求：平行四边形PAQA′的面积S与P点横坐标x（2＜x≤4）之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，如图11﹣3，连接BA′，抛物线l1或l2上是否存在一点H，使得HB=HA′？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：如图1，
过A作AD⊥OB于D点，
∵抛物线l1：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0）．
顶点为A．OD= 
OB=2．
又∵直线OA的解析式为y=x，
∴AD=OD=2．
∴点A的坐标为（2，2），
将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，
，
解得 
，
∴抛物线C的解析式为y=﹣ x2+2x
（2）
解：如图2，
，
∵AO=A′O，PO=OQ，
∴四边形PAQA′是平行四边形，
∴S平行四边形PAQA′=4S△AOP．
过点P作PE⊥y轴于E交AO于F．
设P（x，﹣ x2+2x），则F（﹣ x2+2x，﹣ x2+2x），
若P点在抛物线AB段（2＜x≤4）时，S△AOP= |xP﹣xF|×|yA|= [x﹣（﹣ x2+2x）]×2= x2﹣x，
则S平行四边形PAQA′=4S△AOP=2x2﹣4x（2＜x≤4）
（3）
解：如图3，
，
作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由旋转的性质，得l2的顶点坐标A′（﹣2，﹣2），
故A′B的中点M的坐标（1，﹣1）．
作MT⊥x轴于T，在Rt△NMB中，MT⊥NB于T，
∠NMT+∠BMT=90°，∠TBM+∠BMT=90°，
∴∠NMT=∠TBM，
又∵∠NTM=∠BTM=90°，
∴△MTN∽△BTM，
= 
，
MT2=TNTB，即12=（1﹣n）（4﹣1）．
∴n= 
，即N点的坐标为（ ，0）．
直线l过点M（1，﹣1）、N（ ，0），
∴直线l的解析式为y=﹣3x﹣2．
解 
，得x=5 
．
在抛物线l1上存在两点使得HB=HA′，其坐标分别为（5+ 
，﹣13﹣3 ），（5﹣ ，﹣13﹣3 ）．
解 
得x=﹣5 
，在抛物线l2上存在两点使得HB=HA′，其坐标分别为（﹣5+ 
，17﹣3 ），（﹣5﹣ ，17+3 ）；
综上所述：（5+ ，﹣13﹣3 ），（5﹣ ，﹣13﹣3 ），（﹣5+ ，17﹣3 ），（﹣5﹣ ，17+3 ）
【解析】（1）根据O、B关于对称轴对称，可得OD的长，根据A在直线y=x上，可得A点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据平行四边形的性质，可得S平行四边形PAQA′=4S△AOP ， 根据平行于x轴的直线上两点间的距离是较大的横坐标减较小的横坐标，可得PF的长，根据三角形的面积，可得答案；（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得H在线段A′B的垂直平分线上，根据解方程组，可得H点的坐标．
