Question

如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F
（1）求证：．
（2）若BD=4，CD=3，求BE•AC的值．

Answer 1

（1）证明：连接DM．
在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，则DM=MA，
∴∠MDA=∠MAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD=∠DAC，
∴∠MDA=∠DAC，
∴MD∥AC，
∵AC⊥BC，BF⊥BC，
∴BF∥AC，
∴DM∥BF∥AC，
∴，△ACM∽△BFM，
∴，
∴．

（2）解：∵∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，
∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴BE•AC=BD•DC=4×3=12．
分析：（1）首先连接DM，由在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，则DM=MA，又由AD平分∠BAC，易证得DM∥BF∥AC，可得，△ACM∽△BFM，继而证得．
（2）易证得△BED∽△BDA，△ADE∽△ACD，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BE：BD=DC：AC，继而求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．