Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，线段OA=6，OB=12，C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）C点坐标为

 

；
（2）求直线AD的解析式；
（3）直线OC绕点O逆时针旋转90°，求出点D的对应点D′的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为点A，B分别在x轴，y轴上，线段OA=6，OB=12，所以A（6，0）、B（0，12），又因C是线段AB的中点，利用线段中点的公式即可求出C的坐标为（3，6）；
（2）要求直线AD的解析式，已知A的坐标，需求D的坐标，因为点D在线段OC上，OD=2CD，所以可作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，则OE=

1

2

OA=3，CE=

1

2

OB=6，因为DF∥CE，可得

DF

CE

=

OF

OE

=

OD

OC

=

2

3

，从而可求出OF=2，DF=4，
即点D的坐标为（2，4），然后可设直线AD的解析式为y=kx+b．把A（6，0），D（2，4）代入得到关于k、b的方程组，解之即可；
（3）因为直线OC绕点O逆时针旋转90°，所以D也作了相同的旋转，要求点D的对应点D′的坐标，需作D′M⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，由旋转可知：∠DOD′=90°，OD=OD’，利用同角的余角相等可得∠D′OM=∠DON，所以可证Rt△MOD′≌Rt△DOF，所以D′M=OF=2，OD′=DF=4，又因点D′在第二象限，所以D′点坐标为（-4，2）．

解答：解：（1）（3，6）；

（2）作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，则OE=

1

2

OA=3，CE=

1

2

OB=6，
∵DF∥CE，

DF

CE

=

OF

OE

=

OD

OC

=

2

3

，
得OF=2，DF=4，
∴点D的坐标为（2，4），
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A（6，0），D（2，4）代入得

6k+b=0 2k+b=4

，
解得

k=-1 b=6

，
∴直线AD的解析式为y=-x+6．

（3）作D′M⊥x轴于点M，
由旋转可知：∠DOD’=90°，OD=OD’，
∴∠MOD′+∠DOF=90°，
∵∠ODF=90°，
∴∠ODF+∠DOF=90°，
∴∠ODF=∠MOD’，
∴△MOD′≌△DOF，（7分）
∴D′M=OF=2，OD′=DF=4，
又∵点D′在第二象限，
∴D′点坐标为（-4，2）．

点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用待定系数法、旋转、全等三角形的知识来解决问题．