题目内容
【题目】已知:如图在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的负半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3,过原点O作∠AOC的平分线交线段AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交线段OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)如图2将∠EDC绕点D按逆时针方向旋转后,角的一边与y轴的负半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G,如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,求证:EF=2GO;
(3)对于(2)中的点G,在位于第四象限内的该跑物像上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)EF=2GO;
(3)Q(2,2)或(1,)或(,).
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求解抛物线解析式;
(2)利用待定系数法求解直线解析式,得到F(0,3),EF=2,从而得出∠FDA=∠GDK,KG=AF即可;
(3)分三种情况,①PG=PC,②若PG=GC,③若PG=GC,由勾股定理解得即可.
试题解析:(1)由已知,得C(3,0),D(2,2),
∵∠ADE90°﹣∠CDB=∠BCD,
∴AD=BC,AD=2,
∴E(0,1),设过点E,D,C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
将点E,D,C的坐标分别代入,得;
解这个方程组,得,
∴抛物线点的解析式为;
(2)证明:∵点M在抛物线上,且它的横坐标为,
设DM的解析式为y=kx+m(k≠0),
将点D,M的坐标分别代入,得,
解得,
∴DM的解析式为,
∴F(0,3),EF=2.
过点D作DK⊥OC于K,
∴DA=DK,
∵∠ADK=∠FDG=90°,
∴∠FDA=∠GDK,
∴KG=AF=1,
∵OC=3,
∴EF=2GO.
(3)如图:
∵点P在AB上,G(1,0),C(3,0),
则设P(t,2),
∴PG2=(t﹣1)2+22,PC2=(3﹣t)2+22,CG=2
①PG=PC,
∴(t﹣1)2+22=(3﹣t)2+22,
∴t=2
∴P(2,2),
此时点Q与点P重合,
∴Q(2,2),
②若PG=GC,
∴(t﹣1)2+22=22,
∴t=1,
∴P(1,2),
此时GP⊥x轴,GP与抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1,
∴Q的纵坐标为,
∴Q(1,).
③若PG=GC,
∴(3﹣t)2+22=22,
∴t=3,
∴P(3,2),此时PC=GC=2,
∴△PGC为等腰直角三角形,过点Q作QH⊥x轴于点H,
∴QH=GH,SHE QH=h,
∴Q(h+1,h),
∴(h+1)2+(h+1)+1=h,
∴h=﹣2(舍)或h=,
∴Q(,),
∴Q(2,2)或(1,)或(,).