Question

九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践--应用--探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式；
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
I．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为l求l的最大值；
II．如图④，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P　为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25）， ∴设抛物线的解析式为， ∵图象过（10，0）点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为；
（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，x=2， 把x=2代入解析式得：y=-0.25（2-5）2+6.25，y=4， ∵4-3.5=0.5， ∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；
（3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25， ∴矩形ABCD的周长为l： l=2[-0.25（x-5）2+6.25]+2（10-2x）=-0.5x2+x+20=-0.5（x-1）2+20.5， ∴l的最大值为20.5， II．当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∵P在y=x的图象上，设P（m，m）， 过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q， ∴∠POA=∠OPA=45°，N点的坐标为（5，5）， ∴Q点的坐标为（m，5）， 把Q点的坐标代入，得， 解得， ∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：（，）或（，）。