题目内容
如图,将OA=8,AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M,N以每秒1个单位的速度分别从点A,C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.
(1)点B的坐标为______;用含t的式子表示点P的坐标为______;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<8),并求当t为何值时,S有最大值?若有,求出这个最大值;
(3)试探究:在上述运动过程中,是否存在某一个时刻,△OPM是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)点B的坐标为______;用含t的式子表示点P的坐标为______;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<8),并求当t为何值时,S有最大值?若有,求出这个最大值;
(3)试探究:在上述运动过程中,是否存在某一个时刻,△OPM是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)延长NP到OA于一点G,
∵NP⊥BC,
∴PG⊥AO,
∵OA=8,AB=6,
∴
=
=
=
,
∵CN=t,
∴PG=
t,
∴B(8,6),P(t,
t);
(2)∵PG=
t,OM=8-t,
∴S=
(8-t)×
t=-
t2+3t(0<t<8),
当t=4时,S有最大值,最大值为6.
(3)当OP=PM时,有8-t=2t,
解得:t=
,∴M(
,0);
当OP=OM时,有8-t=
t,
解得:t=
,∴M(
,0);
当OM=PM时,有2×
(8-t)=
t,
解得:t=
,∴M(
,0).
综上所述,M的坐标为(
,0)或(
,0)或(
,0).
∵NP⊥BC,
∴PG⊥AO,
∵OA=8,AB=6,
∴
PG |
GO |
AB |
AO |
6 |
8 |
3 |
4 |
∵CN=t,
∴PG=
3 |
4 |
∴B(8,6),P(t,
3 |
4 |
(2)∵PG=
3 |
4 |
∴S=
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
8 |
当t=4时,S有最大值,最大值为6.
(3)当OP=PM时,有8-t=2t,
解得:t=
8 |
3 |
16 |
3 |
当OP=OM时,有8-t=
5 |
4 |
解得:t=
32 |
9 |
40 |
9 |
当OM=PM时,有2×
4 |
5 |
5 |
4 |
解得:t=
256 |
57 |
200 |
57 |
综上所述,M的坐标为(
16 |
3 |
40 |
9 |
200 |
57 |
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