题目内容
如图,正方形ABCD的边长是4,E是AB边上一点(E不与A、B重合),F是AD的延长线上一点,DF=2BE.四边形AEGF是句型,其面积y随BE的长x的变化而变化且构成函数.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若上述(1)中是二次函数,请用配方法把它转化成y=a(x-h)2+k的形式,并指出当x取何值时,y取得最大(或最小)值,该值是多少?
(3)直接写出抛物线与x轴交点坐标.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若上述(1)中是二次函数,请用配方法把它转化成y=a(x-h)2+k的形式,并指出当x取何值时,y取得最大(或最小)值,该值是多少?
(3)直接写出抛物线与x轴交点坐标.
分析:(1)表示出AE、AF,然后根据矩形的面积公式列式整理即可得解;
(2)根据配方法整理,然后根据二次函数的最值问题解答;
(3)令y=0,解关于x的一元二次方程即可得到抛物线与x轴的交点坐标.
(2)根据配方法整理,然后根据二次函数的最值问题解答;
(3)令y=0,解关于x的一元二次方程即可得到抛物线与x轴的交点坐标.
解答:解:(1)∵正方形ABCD的边长是4,BE=x,DF=2BE,
∴AE=AB-BE=4-x,AF=AD+DF=4+2x,
∴y=(4-x)(4+2x)=-2x2+4x+16,
∵E不与A、B重合,
∴0<x<4,
故y=-2x2+4x+16(0<x<4);
(2)y=-2x2+4x+16=-2(x2-2x+1)+2+16=-2(x-1)2+18,
∴y=-2(x-1)2+18,
∵a=-2<0,
∴x=1时,y有最大值,最大值为18;
(3)令y=0,则-2x2+4x+16=0,
整理得,2x2-4x-16=0,
解得x1=-2,x2=4,
∴抛物线与x轴交点坐标为(-2,0),(4,0).
∴AE=AB-BE=4-x,AF=AD+DF=4+2x,
∴y=(4-x)(4+2x)=-2x2+4x+16,
∵E不与A、B重合,
∴0<x<4,
故y=-2x2+4x+16(0<x<4);
(2)y=-2x2+4x+16=-2(x2-2x+1)+2+16=-2(x-1)2+18,
∴y=-2(x-1)2+18,
∵a=-2<0,
∴x=1时,y有最大值,最大值为18;
(3)令y=0,则-2x2+4x+16=0,
整理得,2x2-4x-16=0,
解得x1=-2,x2=4,
∴抛物线与x轴交点坐标为(-2,0),(4,0).
点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了二次函数的三种形式,二次函数的最值问题,抛物线与x轴的交点问题,读懂题目信息并理解“句型”的定义是解题的关键.
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