题目内容
【题目】已知:,⊙经过点、.以为一边画平行四边形,另一边经过点(如图1).以点为圆心,为半径画弧,交线段于点(点不与点、点重合).
(1)求证:;
(2)如果⊙的半径长为(如图2),设,,求关于的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)如果⊙的半径长为,联结,当时,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2),得1分,函数定义域,(3)3.
【解析】解决本题方法是根据题意添加辅助线,利用平行四边形的性质和全等三角形性质解题即可.
解:(1)联结、(如图8-1),
易得,.
∵四边形是平行四边形,∴∥,.
∵,,∴.
又 ∵∥,∴四边形是等腰梯形.∴.
又 ∵,∴.
即 .
在△AOD和△BOE中,∵,,,
∴△AOD≌△BOE. ∴.
方法2:∵,,,∴△AOD≌△BOE.……
方法3:∵,,,∴△AOD≌△BOE.……
方法4:如图8-2,过点作,过点作,过点作.……
方法5:如图8-3,过点作,垂足为,联结、.……
(2)方法1:如图9-1,
过点作,垂足为,过点作,垂足为.
联结,,,得1分;得到,得2分;在Rt△ADG中,写出,,得1分;利用得到,得1分,函数定义域,.
(3)如图10-1,
过点作,交于点,交于点.证明四边形是平行四边形,利用,得到,利用△AMN≌△CMO或得到,进而得到是的垂直平分线,,利用,得到.
方法2.如图10-2;方法3:如图10-3;方法4(利用圆周角,略).
“点睛”本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系和三角形全等的判定与性质,也考查了分类讨论的思想和勾股定理.本题时要注意一题多解的应用.
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