Question

（1）如图1，E，F分别是?ABCD的对角线AC上的两点，且CE=AF，求证：BE=DF
（2）如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂为点E．K为

AC

上一动点，AK、DC的延长线相交于点F，连接CK、KD．
①求证：∠AKD=∠CKF；
②若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，AB∥CD，推出∠BAE=∠DCF，AE=CF，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）①求出∠CKF=∠ADC，根据垂径定理求出∠AKD=∠ADC，即可得出答案；②求出OE，求出AE，求出∠ADE的正切，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵CE=AF，
∴CE-EF=AF-EF，
∴AE=CF，
在△ABE和△DCF中，

AB=DC ∠ABE=∠DCF AE=CF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．

（2）①证明：连接AD，
∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF=∠ADC．
∵AB为⊙的直径，弦CD⊥AB，
∴弧AD=弧AC，
∴∠ADC=∠AKD，
∴∠AKD=∠CKF．

（2）解：连接OD．
∵AB为⊙的直径，AB=10，
∴OD=5，
∵弦CD⊥AB，CD=6，
∴DE=3，
在Rt△ODE中，OD=5，DE=3，由勾股定理得：OE=

52-32

=4，
∴AE=5+4=9，
在Rt△ADE中，tan∠CKF=tan∠ADE=

AE

DE

=

9

3

=3．

点评：本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定，圆内接四边形性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数值等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．