Question

已知二次函数y=x²+bx+c+1的图象过点P（2，1）．
（1）求证：c=-2b-4；
（2）求bc的最大值；
（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），△ABP的面积是

3

4

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）将P点坐标代入抛物线的解析式中，即可证得所求的结论；
（2）将（1）所得的b、c的关系式代入bc中，即可得到关于bc与b的函数关系式，根据函数的性质即可得到bc的最大值；
（3）可根据韦达定理，用b表示出AB的长，进而根据△ABP的面积及P点的纵坐标求出AB的具体值，即可得出关于b的方程，从而求得b的值．

解答：（1）证明：将点P（2，1）代y=x²+bx+c+1，
得：1=2²+2b+c+1，（1分）
整理得：c=-2b-4；（2分）

（2）解：∵c=-2b-4，
∴bc=b（-2b-4）=-2（b+1）²+2，（4分）
∴当b=-1时，bc有最大值2；（5分）

（3）解：由题意得：

1

2

AB×1=

3

4

，
∴AB=|x₂-x₁|=

3

2

，
即|x₂-x₁|²=

9

4

，（6分）
亦即(x1+x2)2-4x1x2=

9

4

，（7分）
由根与系数关系得：x₁+x₂=-b，x₁•x₂=c+1=-2b-4+1=-2b-3，（8分）
代入(x1+x2)2-4x1x2=

9

4

，
得：(-b)2-4(-2b-3)=

9

4

，
整理得：b2+8b+

39

4

=0，（9分）
解得：b₁=-

3

2

，b₂=-

13

2

．（10分）

点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标意义、二次函数的最值、根与系数的关系等知识的综合应用能力．