题目内容

已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=
 
度．
分析：如图，由已知根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，可知∠1=∠2=
1
2
∠ABC=30°，所以∠3=∠1+∠2=60°．
解答：精英家教网解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠1=∠2=
1
2
∠ABC=30°，
∴∠3=∠1+∠2=60°．
点评：本题考查了等边三角形的性质；得到AD为角平分线是正确解答本题的关键．
练习册系列答案
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阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h．点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3．
如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=
1
2
h，h2=
1
2
h，因此得到：h1+h2=h．
小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案．证明如下：
证明：如图3，连接AP．
∴S△ABC=S△ABP+S△APC．
设等边三角形的边长AB=BC=CA=a．
∵AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴
1
2
BC•AD=
1
2
AB•PE+
1
2
AC•PF
∴
1
2
a•h=
1
2
a•h1+
1
2
a•h2．
∴h1+h2=h．
（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 h之间的数量关系，并证明．（借助答题卡上的图4）
（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明．
继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5精英家教网画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明．
6、如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．
（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
如图，已知△ABC是等边三角形，边长为10，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且AD=BE=CF，
（1）设AD为x，△ADF的面积为y，当x为何值时，△ADF的面积最大，最大面积是多少？
（2）当x为何值时，△ADF是直角三角形？
已知△ABC是等边三角形，D是BC边上任一点，连结AD，并作等边三角形ADE，若DE⊥AB，那么
BDDC
的值为
1
1
．
如图，已知△ABC是等边三角形，AB=5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD=
30°
30°
，∠ADF=
60°
60°
，BD=
2.5cm
2.5cm
，∠EDF=
120°
120°
．

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