题目内容

【题目】如图1,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(﹣3,0),B(1,0),与y轴的交点为D,对称轴与抛物线交于点C,与x轴负半轴交于点H.

(1)求抛物线的表达式;
(2)点E,F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点(点E在点F上方),且EF=1,求使四边形BDEF的周长最小时的点E,F坐标及最小值;
(3)如图2,点P为对称轴左侧,x轴上方的抛物线上的点,PQ⊥AC于点Q,是否存在这样的点P使△PCQ与△ACH相似?若存在请求出点P的坐标,若不存在请说明理由.

【答案】
(1)解:∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣3,0),B(1,0),

,解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3


(2)解:∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

∴顶点C(﹣1,4).

将D点向下平移1个单位,得到点M,连结AM交对称轴于F,作DE∥FM交对称轴于E点,如图1所示.

∵EF∥DM,DE∥FM,

∴四边形EFMD是平行四边形,

∴DE=FM,EF=DM=1,

DE+FB=FM+FA=AM.

由勾股定理,得AM= = = ,BD= = =

四边形BDEF周长的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+(DE+FB)=BD+EF+AM= +1+

设AM的解析式为y=mx+n,将A(﹣3,0),M(0,2)代入,解得m= ,n=2,则AM的解析式为y= x+2,

当x=﹣1时,y= ,即F(﹣1, ),

由EF=1,得E(﹣1, ).

故四边形BDEF的周长最小时,点E的坐标为(﹣1, ),点F坐标为(﹣1, ),四边形BDEF周长的最小值是 +1+


(3)解:点P在对称轴左侧,当△PCQ∽△ACH时,∠PCQ=∠ACH.

过点A作CA的垂线交PC与点F,作FN⊥x轴与点N.则AF∥PQ,

∴△CPQ∽△CFA,

= =2.

∵∠CAF=90°,

∴∠NAF+∠CAH=90°,∠NFA+∠NAF=90°,

∴∠BFA=∠CAH.

又∵∠FNA=∠AHC=90°,

∴△FNA∽△AHC,

= = = ,即 = =

∴AN=2,FN=1.

∴F(﹣5,1).

设直线CF的解析式为y=kx+b,将点C和点F的坐标代入得: ,解得:k= ,b=

∴直线CF的解析式为y= x+

将y= x+ 与y=﹣x2﹣2x+3联立得: 解得: (舍去).

∴P(﹣ ).

∴满足条件的点P的坐标为(﹣ ).


【解析】(1)直接利用待定系数法来求解;
(2)把(1)中得到的解析式写成顶点式可得C的坐标,将D点向下平移1个单位,得到点M,连结AM交对称轴于F,作DE∥FM交对称轴于E点,进而可得四边形EFMD是平行四边形,由平行四边形的性质和勾股定理可求得AM、BD,进而可求出四边形BDEF周长的最小值,再利用待定系数法求出直线AM的解析式,从而得到F的坐标,然后由EF=1得出E的坐标;
(3)过点A作CA的垂线交PC与点F,作FN⊥x轴与点N.则AF∥PQ.当△PCQ∽△ACH时,∠PCQ=∠ACH.再证明△CPQ∽△CFA和△FNA∽△AHC,由相似三角形的性质可求出AN、FN的长,进而得到F点的坐标,再求出直线CF的解析式,然后与抛物线解析式联立,求出P点的坐标.
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法,以及对轴对称的性质的理解,了解关于某条直线对称的两个图形是全等形;如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.

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