Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程x²-（m+5）x+6m=0的两个实数根．求m的值及AC、BC的长（BC＞AC）．

Answer 1

解：∵AC、BC的长是关于x的方程x²-（m+5）x+6m=0的两个实数根，
∴AC+BC=m+5，AC•BC=6m．
又AC²+BC²=AB²=25，
∴（m+5）²-2×6m=25，
即m²-2m=0，
m=2或m=0（不合题意，应舍去）．
当m=2时，有x²-7x+12=0，x=3或x=4．
又BC＞AC，
∴BC=4，AC=3．
分析：根据一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理，求得m的值，进而求得AC、BC的长．
点评：此题的综合性比较强，注意数形结合的思想，能够把根与系数的关系与勾股定理有机地结合起来．
要熟练对完全平方公式进行变形．