Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．
（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；
（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接PC，通过证明△DPC≌△EPB，得出PD=PE．
（2）分EP=EB、EP=PB时、BE=BP三种情况进行解答．

解答：解：（1）PD=PE．以图②为例，如图，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（ASA）
∴PD=PE；

（2）能，①当EP=EB时，CE=

1

2

BC=1．
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0．
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=2-

2

．
若点E在CB的延长线上，则CE=2+

2

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质与判定；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解．辅助线的作出是解答本题的关键．