Question

【题目】如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点．

（1）填空：∠AOB= °，用m表示点A′的坐标：A′（ ， ）；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：
①求a，b，m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）45　；m　；﹣m　
（2）

解：△D′OE∽△ABC，理由如下：

由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），

∵，

∴P（2m，m），

∵A′为抛物线的顶点，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣m）2﹣m，

∵抛物线过点E（0，n），

∴n=a（0﹣m）2﹣m，即m=2n，

∴OE：OD′=BC：AB=1：2，

∵∠EOD′=∠ABC=90°，

∴△D′OE∽△ABC；

（3）

解：①当点E与点O重合时，E（0，0），

∵抛物线y=ax2+bx+c过点E，A，

∴，

整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；

②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，

∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，

若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，

∴a（3m）2﹣（1+am）3m=0，

整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2﹣x，

由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，

联立抛物线与直线OA解析式得：，

解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），

令5m=10，即m=2，

当m=2时，a=；

若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）2m=2m，

解得：am=2，

∵m=2，

∴a=1，

则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1．

【解析】（1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即可确定出A′坐标；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由，表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式；
②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和二次函数的图象的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点才能正确解答此题．