题目内容

【题目】在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE.

(1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.
①求证:△ABD是等边三角形;
②求证:BF⊥AD,AF=DF;
③请直接写出BE的长;
(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.

【答案】
(1)

解:①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,

∴AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是等边三角形;

②由①得△ABD是等边三角形,

∴AB=BD,

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,

∴AC=AE,BC=DE,

又∵AC=BC,

∴EA=ED,

∴点B、E在AD的中垂线上,

∴BE是AD的中垂线,

∵点F在BE的延长线上,

∴BF⊥AD,AF=DF;

③由②知BF⊥AD,AF=DF,

∴AF=DF=3,

∵AE=AC=5,

∴EF=4,

∵在等边三角形ABD中,BF=ABsin∠BAF=6× =3

∴BE=BF﹣EF=3 ﹣4;


(2)

解:如图所示,

∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,

∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°,

又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°,

∴∠BAE=∠ABC,

∵AC=BC=AE,

∴∠BAC=∠ABC,

∴∠BAE=∠BAC,

∴AB⊥CE,且CH=HE= CE,

∵AC=BC,

∴AH=BH= AB=3,

则CE=2CH=8,BE=5,

∴BE+CE=13.


【解析】(1)①由旋转性质知AB=AD,∠BAD=60°即可得证;②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证;③分别求出BF、EF的长即可得;(2)由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC,根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3,继而知CE=2CH=8、BE=5,即可得答案.

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