题目内容
【题目】在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE.
(1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.
①求证:△ABD是等边三角形;
②求证:BF⊥AD,AF=DF;
③请直接写出BE的长;
(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
【答案】
(1)
解:①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,
∴AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形;
②由①得△ABD是等边三角形,
∴AB=BD,
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE,
∴AC=AE,BC=DE,
又∵AC=BC,
∴EA=ED,
∴点B、E在AD的中垂线上,
∴BE是AD的中垂线,
∵点F在BE的延长线上,
∴BF⊥AD,AF=DF;
③由②知BF⊥AD,AF=DF,
∴AF=DF=3,
∵AE=AC=5,
∴EF=4,
∵在等边三角形ABD中,BF=ABsin∠BAF=6× =3 ,
∴BE=BF﹣EF=3 ﹣4;
(2)
解:如图所示,
∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°,
又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°,
∴∠BAE=∠ABC,
∵AC=BC=AE,
∴∠BAC=∠ABC,
∴∠BAE=∠BAC,
∴AB⊥CE,且CH=HE= CE,
∵AC=BC,
∴AH=BH= AB=3,
则CE=2CH=8,BE=5,
∴BE+CE=13.
【解析】(1)①由旋转性质知AB=AD,∠BAD=60°即可得证;②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证;③分别求出BF、EF的长即可得;(2)由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC,根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3,继而知CE=2CH=8、BE=5,即可得答案.
【题目】有这样一个问题:探究函数y= ﹣ x的图象与性质. 小东根据学习函数的经验,对函数y= ﹣ x的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整,并解决相关问题:
(1)函数y= ﹣ x的自变量x的取值范围是;
(2)下表是y与x的几组对应值,求m的值;
x | … | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣ | ﹣1 | ﹣ |
| 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | … |
|
|
|
|
|
|
|
| ﹣ | ﹣ | m | … |
(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
(4)进一步探究发现,该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是(﹣2, ),结合函数的图象,写出该函数的其它性质(一条即可) .
(5)根据函数图象估算方程 ﹣ x=2的根为 . (精确到0.1)