题目内容

如图．抛物线y=-x2-2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、点B和点C的坐标．
（2）求直线AC的解析式．
（3）设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB=6，求点M的坐标．
（4）若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从 B 向A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动．设运动的时间为t精英家教网秒，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？
分析：（1）令y=0求得抛物线与横轴的交点坐标，令x=0求得图象与y轴的交点坐标即可．
（2）利用已知的两点的坐标根据待定系数法求得一次函数的解析式即可．
（3）设出点M的坐标为（x，-x2-2x+3），然后表示出其面积
1
2
(-x2-2x+3)×4=6，解得即可．
（4）由题意，得AB=4，PA=4-t，根据AO=3，CO=3，得到△AOC是等腰直角三角形，然后根据AQ=2t，求得Q点的纵坐标为
2
t，最后求出S与t的函数关系式后利用二次函数的性质求出S的最大值．
解答：解：（1）令-x2-2x+3=0，（x+3）（x-1）=0，x1=-3，x2=1，
A（-3，0）B．（1，0），C（0，3）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
由题意，得
-3k+b=0
b=3
，
解之得
k=1
b=3
，
故y=x+3；

（3）设M点的坐标为（x，-x2-2x+3），
AB=4，因为M在第二象限，所以-x2-2x+3＞0，
所以
1
2
(-x2-2x+3)×4=6，
解之，得x1=0，x2=-2，
当x=0时，y=3，（不合题意）
当x=-2时，y=3．
所以M点的坐标为（-2，3）；

（4）由题意，得AB=4，PA=4-t，
∵AO=3，CO=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，AQ=2t，
所以Q点的纵坐标为
2
t，
S=
1
2
×
2
t×(4-t)=-
2
2
t2+2
2
t（0＜t＜4）
∵S=-
2
2
(t2-4t+4-4)=-
2
2
(t-2)2+2
2
，
∴当t=2时，△APQ最大，最大面积是2
2
．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
练习册系列答案
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26、已知：如图，抛物线C1，C2关于x轴对称；抛物线C1，C3关于y轴对称．抛物线C1，C2，C3与x轴相交于A、B、C、D四点；与y相交于E、F两点；H、G、M分别为抛物线C1，C2，C3的顶点．HN垂直于x轴，垂足为N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|HG|
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AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四边形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每种特殊四边形只能写一个，写错、多写记0分）
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（3）写出你证明的特殊四边形的性质．
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A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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