题目内容

如图已知二次函数图象的顶点坐标为,直线的图象与该二次函数的图象交于两点,其中点坐标为点在轴上,直线与轴的交点为为线段上的一个动点(点不重合),过轴的垂线与这个二次函数的图象交于点.
(1)求的值及这个二次函数的解析式;
(2)设线段的长为,点的横坐标为,求之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)为直线与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设抛物线解析式为
在抛物线上,
        
二次函数解析式为:
(或
得:
点在

代入
(2)


(3)假设存在点,①当时,由题意可得


舍去
存在点,其坐标为
②当时,
过点垂直于抛物线的对称轴,垂足为
由题意可得:
       
       
(舍去)
存在点,其坐标为
综上所述存在点满足条件,其坐标为
(1)根据二次函数的顶点坐标,可设抛物线解析式为(顶点式),把点代入解析式即可求出,根据求出点,由点和点求出直线即可
(2)由于,则线段的长等于一次函数减去二次函数值,点在线段上,故
(3)以点为顶点的三角形与相似,由于字母没有对应,则需分情况讨论:
,利用相似三角形对应边成比例,得到,注意的取值范围,得到点 ②,同理可得,注意的取值范围,得到点
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