Question

如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．

（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x+4（2）D（2，6）（3）点P的坐标为（，0）或（，0）

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得
，解得。
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4。
（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，

∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形。
又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。
∴△ADG为等腰直角三角形。
∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。
∴D（2，6）。
（3）存在。
由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），
将D（2，6）代入，得a=。∴抛物线解析式为y=x（x﹣4）。
由（2）可知，∠B=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2）。
设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，

此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，
将E（x，x）代入抛物线y=x（x﹣4）中，
得x=x（x﹣4），解得x=0或，
∴P（，0）。
②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），

此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形。
则PE=MC=2，
将E（x，2）代入抛物线y=x（x﹣4）中，
得2=x（x﹣4），解得x=或。
∴P（，0）。
综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）。
（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式。
（2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D点坐标。
（3）存在。已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。